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2025年下学期高中数学竞赛同伴竞技试卷

一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分）

1.已知集合(A={x\midx^2-5x+6=0})，(B={x\mid\log_2(x-1)=1})，则(A\cupB=)（）

A.{2,3}

B.{2,3,4}

C.{3,4}

D.{2,4}

解答过程：

解方程(x^2-5x+6=0)，得((x-2)(x-3)=0)，故(A={2,3})。

由(\log_2(x-1)=1)得(x-1=2^1=2)，即(x=3)，故(B={3})。

因此(A\cupB={2,3})，选A。

2.函数(f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right))的最小正周期为（）

A.(\frac{\pi}{2})

B.(\pi)

C.(2\pi)

D.(4\pi)

解答过程：

利用三角恒等变换化简：

[

\begin{align*}

\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\

\thereforef(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)

\end{align*}

]

最小正周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)，选B。

3.在三棱锥(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，(PA=AB=BC=2)，则三棱锥外接球的表面积为（）

A.(8\pi)

B.(12\pi)

C.(16\pi)

D.(20\pi)

解答过程：

将三棱锥补形为长方体，其中(PA,AB,BC)为三条棱，长方体的体对角线即为外接球直径：

[

2R=\sqrt{PA^2+AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\impliesR=\sqrt{3}

]

表面积(S=4\piR^2=4\pi\times3=12\pi)，选B。

4.已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，则(a_7+a_8+a_9=)（）

A.128

B.256

C.512

D.1024

解答过程：

等比数列中，(S_3,S_6-S_3,S_9-S_6)成等比数列，公比为(q^3)：

[

S_3=7,\quadS_6-S_3=63-7=56\impliesq^3=\frac{56}{7}=8\impliesa_7+a_8+a_9=S_9-S_6=56\times8=448

]

注：原选项无448，题目可能存在疏漏，若修正(S_6=63)为(S_6=15)，则(q^3=\frac{8}{7})，但此处按原题计算，最接近选项为C（可能题目应为(S_6=63)对应(q^3=8)，答案512）。

5.设(F_1,F_2)为椭圆(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1)的左、右焦点，(P)为椭圆上一点，且(\angleF_1PF_2=60^\circ)，则(\triangleF_1PF_2)的面积为（）

A.(\frac{16\sqrt{3}}{3})

B.(16\sqrt{3})

C.(\frac{32\sqrt{3}}{3})

D.(32\sqrt{3})

解答过程：

椭圆参数：(a=5)，(b=4)，(c=3)，(|F_1F_2|=2c=6)。

设(|PF_1|=m)，(|PF_2|=n)，则(m+n=2a=10)。

由余弦定理：

[

m^2+n^2-2mn\cos60^\circ