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2025年下学期高中数学竞赛图论问题试卷

一、选择题（每题5分，共30分）

完全图性质：设(K_n)为含(n)个顶点的完全图，其边数为(m)，则下列说法正确的是（）

A.当(n=5)时，(K_n)的边数为15

B.(K_n)中任意两顶点的最短路径长度均为1

C.(K_n)的生成树数量为(n^{n-2})（凯莱公式）

D.若(n)为偶数，则(K_n)不存在完美匹配

欧拉回路判定：在下列4个无向图中，一定存在欧拉回路的是（）

A.顶点数为5，边数为8的连通图

B.所有顶点度数均为偶数的非连通图

C.顶点数为3的完全图(K_3)

D.包含1个度数为奇数顶点的树

平面图性质：若一个简单平面图有(V=8)个顶点，(E=12)条边，则其面数(F)为（）

A.4B.6C.8D.10

树的结构：已知一棵无向树有3个度数为3的顶点，2个度数为2的顶点，其余顶点均为叶子节点，则该树的叶子节点数为（）

A.5B.6C.7D.8

图的同构：下列哪组图一定同构（）

A.顶点数均为4，边数均为5的两个无向图

B.两个具有相同顶点度序列的树

C.顶点数为5的完全图与5阶圈图

D.两个3阶正则图

有向图路径计数：在含4个顶点的有向完全图中，从顶点(v_1)到(v_4)的长度为3的路径（允许重复顶点）有（）

A.16条B.27条C.64条D.81条

二、填空题（每题6分，共30分）

二分图匹配：在一个(3\times4)的二部图(G=(X,Y,E))中，(X={x_1,x_2,x_3})，(Y={y_1,y_2,y_3,y_4})，边集(E={(x_1,y_1),(x_1,y_2),(x_2,y_2),(x_2,y_3),(x_3,y_3),(x_3,y_4)})，则其最大匹配的边数为________。

最短路径问题：在加权图中，顶点(A)到(B)的最短路径长度为10，若将所有边的权重同时增加2，则新图中(A)到(B)的最短路径长度________（填“一定增加”“一定不变”或“可能变化”）。

拉姆塞数初步：若要保证6个人中必有3人互相认识或3人互相不认识，则对应的拉姆塞数为________。

有向图强连通性：含5个顶点的有向图至少需要________条边才能保证其为强连通图。

网络流问题：在一个容量网络中，源点为(S)，汇点为(T)，若最小割的容量为8，且存在一条从(S)到(T)的增广路径，其残余容量为3，则增广后最大流的值为________。

三、解答题（共4题，120分）

12.（25分）树的性质与构造

已知一棵无向树(T)有(n)个顶点，且所有顶点的度数之和为18。

（1）求(n)的值；

（2）若(T)中存在一个度数为4的顶点，其余顶点度数均不超过3，求(T)中度数为3的顶点的个数；

（3）画出满足（2）条件的两棵不同构的树。

13.（30分）平面图与染色问题

（1）证明：任意简单平面图中至少存在一个度数不超过5的顶点；

（2）用四种颜色对一个连通平面图的面进行染色，要求相邻面颜色不同。若该图有10个顶点、15条边，求最少需要几种颜色，并说明理由；

（3）举例说明存在需要四种颜色染色的平面图（画出示意图）。

14.（35分）路径计数与动态规划

在平面直角坐标系中，从原点((0,0))出发，每次只能向右（+1,0）或向上（0,+1）移动一步，且不能经过点((3,3))和((6,7))，求到达点((10,10))的不同路径数。

（注：可使用容斥原理或动态规划方法，要求写出关键步骤）

15.（30分）竞赛图与拉姆塞理论

（1）证明：任意含6个顶点的竞赛图中，至少存在一个3阶有向圈；

（2）在一次数学竞赛中，有8名选手，每名选手与其他选手均进行一场比赛（无平局）。若规定：若选手(A)胜(B)，(B)胜(C)，(C)胜(A)，则称(A,B,C)构成一个“3阶循环”。证明：该竞赛中至少存在两个3阶循环。

四、附加题（20分，不计入总分）

图论在信息传递中的应用：某通信网络有10个节点，每个节点可向与其直接相连的节点发送信息，信息传递无延迟且可双向传播。已知该网络的直径为3（任意两节点的最大距离为3），且节点的最小度数为2。

（1）证明：该网络中至少存在一个长度不小于4的圈；

（2）若每个节点最多连接4个其他节点，求该网络最多可包含的边数。

说明：

所有答案需写出详细推理过程，仅给出结果不得分；

几何图形需标注顶点与边的关系，同构的图视为同一图形；

动态规划、容斥原理等方法需明确定义状态或集合。