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基于核心素养培养的情境创设，以“正切”教学为例

摘要：2014年3月教育部印发的《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》第一次提出“核心素养”，文中提出要“研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准”。什么是核心素养？对于不同的学科有不同的表述，但它们都有相同的内在诉求和价值取向。核心素养的内在诉求和价值取向是指“学生应该具备的适应社会发展和终生发展需要的关键能力和必备品格”。

关键词：核心素养，正切，函数，变量

引言：数学教育是通过数学抽象活动，增强学生数学意识，提升学生用数学的眼光观察世界的素养;通过数学推理活动，发展学生数学内核，提升学生用数学的思维思考世界的素养；通过数学建模活动，锻炼学生数学表达能力，提升学生用数学的语言描述世界的素养。下面以正切的教学为例浅谈个人的一些微不足道的观点。

一、用“函数”的观念来理解正切

《义务教育教学数学课程标准》（2022）明确表示正切是三角函数的一种，因此，在函数的观念下构建正切的教学活动，体现了正切的学术性。在函数的观念下构建正切的教学活动，要在问题情境中建构好以下三个活动。

首先，要在一个变化的过程中提炼出两个变量，在正切教学中就是直角三角形中，可以用一个锐角的大小或用这个锐角的对边与它的邻边之比来描述斜边的倾斜程度，即在斜边的倾斜程度变化的过程中，有锐角大小和这个钝角对边与它的邻边之比这个两个变量。

其次，要研究这个两个变量之间的关系，个人认为要深度研究这两个变量之间的关系，我们发现在直角三角形中，当一个锐角确定时，这个锐角的对边与它的邻边的比也随之确定；当一个锐角变化时，这个锐角的对边与它的邻边的比也随之变化，此时要增加一个深度认识这两个变量的环节，即在一个锐角

的变化过程中，这时对边与它的邻边的比值与这个锐角的大小是一一对应的关系，因此我们确定了一个锐角与比值是函数关系，故可以说在直角三角形中一个锐角所对的边与它的邻边的比值是这个锐角的函数。

最后，给这种函数关系下定义，通过研究这个函数关系我们发现它并不是我们学习的正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数。因此我们需要给这个函数取个名字。在上述活动中让学生感受到“正切”这个概念形成的必要性、合理性，从而凸显“正切”的学术价值。但是在实际教学中，有很多老师对正切的教学不是基于函数思想，而是降低教学要求，将它作为一般的概念来设计教学活动，因此本人认为用以下活动设计来分析这种做法的合理性和可行性。

锐角的三角函数是研究直角三角形中变角关系的重要工具，在现实世界中有着广泛应用。沪科版九年级上册将正切作为锐角的三角函数的起始内容，突出了正切的引领性作用，然而学生缺乏刻画线段比值的生活实例和数学经验，如何引入自然？课标中将三角函数作为图形与几何的内容，正切的“函数”特征如何体现？学生第一次接触正切，如何想到角与边比值之间的关系？基于对以上问题的思考，在认真研读教材的基础上，通过在函数观点下构建正切的教学活动，以此来突破“在直角三角形中，当锐角确定时，该角的对边与邻边的比值唯一确定及如何体现正切的函数味”这两大教学难点。

教学片段：

发现问题

(1)如图所示，做出无数个以DA为一个锐角的直角三角形，那么，

① BC,B1C1,B2C2LL

有怎样的关系？为什么？

ACAC1 AC2

图1

②上面等式的值随着DA度数的变化而变化吗？

探索思考

□A

思考：通过刚才的活动，我们发现等式的值与 之间存在着怎样的关系

呢？

结论：随着锐角角度的变化，这个角的对边与邻边的比值也随之变化，但是当锐角度数确定后，这个角的对边与它的邻边的比值也唯一确定即角度与比值之间存在一一对应的关系。

这种对应关系我们以前学习过吗？

设计意图：让学生在上述图形中用相似三角形的知识继续研究发现，引导学生在一个变化的过程中，存在两个变量，当一个变量发生变化时，另一个量也发生变化，当一个变量确定时，另一个量也随之确定，并且它们是唯一对应的关系，因此它们是函数关系。

构建新知

(1)正切的定义：

如图，在

RtVABC

中，如果锐角A

□A

确定，那么?A的对边与邻边的比值也

随之确定，这个比叫做 的正切，记作tanA,即

tanA??A的对边=BC?a

□A的邻边 AC b

?

??c

□A???b

□A???a

A C

图2

特别强调：

①tanA是在直角三角形中定义的,

DA是一个锐角；

②tanA是一个比值（直角边之比。注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位。)；

③tanA是一个完整的符号,表示DA的正切,习惯省去“D”号；Da

的正切表

示为：tana；但DBAC的正切应表示为:

tanD1；

tan