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2025年专升本江西高数一练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)在区间（∞，+∞）内（）

A.有两个极值点

B.有三个极值点

C.有一个极值点

D.无极值点

答案：A

解析：首先求导数f(x)=3x^23。令f(x)=0，解得x=1和x=1。计算f(x)=6x，可知x=1时f(x)0，x=1时f(x)0。所以f(x)在x=1处有极大值，x=1处有极小值，共有两个极值点。

2.设函数y=e^xcos(x)，求y在x=0处的二阶导数y(0)等于（）

A.1

B.0

C.1

D.2

答案：B

解析：首先求一阶导数y=e^xcos(x)e^xsin(x)。然后求二阶导数y=e^xcos(x)2e^xsin(x)e^xcos(x)=2e^xsin(x)。代入x=0，得y(0)=2e^0sin(0)=0。

3.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在区间[a,b]上单调递增

B.f(x)在区间[a,b]上单调递减

C.f(x)在区间[a,b]上至少有一个极大值点

D.f(x)在区间[a,b]上至少有一个极小值点

答案：D

解析：根据罗尔定理，若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)=f(b)，则至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。因此，f(x)在区间[a,b]上至少有一个极小值点。

4.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的极值点（）

A.x=0

B.x=2

C.x=2

D.无极值点

答案：B

解析：首先求导数f(x)=2xe^x+x^2e^x=e^x(x^2+2x)。令f(x)=0，解得x=0或x=2。计算f(x)=e^x(x^2+4x+2)。可知x=2时f(x)0，所以f(x)在x=2处有极大值。

5.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)在区间[0,2π]上的最大值和最小值（）

A.最大值1，最小值1

B.最大值√2，最小值√2

C.最大值√2，最小值0

D.最大值1，最小值0

答案：B

解析：首先求导数f(x)=cos(x)sin(x)。令f(x)=0，解得x=π/4或5π/4。计算f(π/4)=√2，f(5π/4)=√2。所以f(x)在区间[0,2π]上的最大值为√2，最小值为√2。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)在x=1处的切线方程为______。

答案：y=2x+1

解析：首先求f(x)=3x^26x。f(1)=36=3。切点为(1,f(1))=(1,2)。切线方程为y2=3(x1)，即y=3x+5。

2.设函数f(x)=x^2e^x，求f(x)的二阶导数f(x)=______。

答案：2x^2e^x+4xe^x

解析：f(x)=e^x(x^2+2x)，f(x)=e^x(2x^2+4x)+e^x(x^2+2x)=e^x(2x^2+4x+x^2+2x)=e^x(3x^2+6x)。

3.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)在区间[0,2π]上的最大值为______，最小值为______。

答案：最大值√2，最小值√2

解析：参考选择题第5题。

4.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)=f(b)，则根据罗尔定理，至少存在一点c∈(a,b)，使得______。

答案：f(c)=0

解析：参考选择题第3题。

5.设函数f(x)=e^xcos(x)，求f(x)在x=0处的二阶导数f(0)=______。

答案：2

解析：参考选择题第2题。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的极值点和极值。

解析：首先求导数f(x)=3x^26x。令f(x)=0，解得x=0或x=2。计算f(x)=6x6。可知x=0时f(x)0，所以f(x)在x=0处有极大