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考研数学：二重积分与三重积分计算方法

二重积分和三重积分是考研数学高等数学部分的重要考点，用于计算平面区域和空间区域上的积分问题，下面为你详细介绍其计算方法。

一、二重积分计算方法

二重积分是在二维平面区域上进行的积分，计算方法主要有直角坐标法和极坐标法。

（一）直角坐标法

积分区域类型及计算思路

X-型区域：若积分区域D可以表示为a≤x≤b，φ1(x)≤y≤φ2(x)

Y-型区域：若积分区域D可以表示为c≤y≤d，ψ1(y)≤x≤ψ2(y)

适用情况：当积分区域的边界曲线是由直线、抛物线等能用x和y的一次或二次函数表示的曲线构成时，直角坐标法较为适用。

（二）极坐标法

坐标变换：令x=rcosθ，y=rsinθ，则dσ=rd

积分区域类型及计算思路

当积分区域D是圆形、扇形、环形等，或者被积函数中含有x2+y2、yx等形式时，使用极坐标法较为方便。一般将积分区域D表示为α≤

计算步骤：先确定极坐标下的积分限，再将被积函数和面积元素进行变换，最后按照先对r积分，再对θ积分的顺序进行计算。

二、三重积分计算方法

三重积分是在三维空间区域上进行的积分，计算方法主要有直角坐标法、柱坐标法和球坐标法。

（一）直角坐标法

积分区域类型及计算思路

投影法（先一后二）：设空间闭区域Ω可以表示为z1(x,y)≤z≤z2(x,y)，(x,y)∈Dxy，其中Dx

截面法（先二后一）：设空间闭区域Ω可以表示为c1≤z≤c2，Dz是垂直于z轴的平面截Ω所得到的平面区域。则Ω?f(x,y,z)d

适用情况：当积分区域是由平面、柱面等围成，且被积函数和积分区域的边界在直角坐标下易于表示时，直角坐标法适用。

（二）柱坐标法

坐标变换：令x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，则dV=

适用情况：当积分区域Ω是圆柱形、圆锥形等，或者被积函数中含有x2+y2形式时，柱坐标法较为方便。通常将积分区域表示为α≤

计算步骤：先确定柱坐标下的积分限，再进行坐标变换，最后按顺序积分。

（三）球坐标法

坐标变换：令x=ρsinφcosθ，y=ρsinφsinθ，z=ρcos

适用情况：当积分区域Ω是球形、半球形等，或者被积函数中含有x2+y2+z2形式时，球坐标法适用。一般将积分区域表示为

三、计算方法选择原则

观察积分区域的形状：如果积分区域是规则的圆形、扇形等，优先考虑极坐标法（二重积分）或柱坐标法、球坐标法（三重积分）；如果是矩形、三角形等平面区域或长方体等空间区域，直角坐标法可能更合适。

分析被积函数的形式：若被积函数中含有x2+y2、yx等，二重积分可考虑极坐标法；含有x2+