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考研数学概率论考研真题分类详解

概率论是考研数学的重要组成部分，下面按重要考点对考研真题进行分类详解。

一、随机事件与概率

（一）考点概述

该考点主要考查随机事件的关系与运算、概率的基本性质和基本公式，如加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式等。

（二）真题示例

题目：（2020年数学一）设A,B为随机事件，且P(A)=0.4，P(B)=0.6，P(A∪B)=0.8，则P(A|B)=（）

解题思路

0.8=0.4+0.6?P(

P(

（三）易错点

在使用概率公式时，容易混淆事件之间的关系，导致公式运用错误。例如，在使用全概率公式时，没有正确确定完备事件组。

二、随机变量及其分布

（一）考点概述

包括离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布、分布函数、概率密度函数的概念和性质，以及常见分布（如0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布等）。

（二）真题示例

题目：（2019年数学三）设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则E(X)=（）

解题思路：先根据泊松分布的概率公式P(X=k)=λke?

2.因为P(X=1

由于e?λ≠0，两边同时除以e?λ得λ

解得λ=0或λ=2，因为λ0，所以λ=2。

3.对于泊松分布

（三）易错点

对常见分布的概率公式、期望和方差公式记忆不准确，在计算时容易代入错误。同时，在根据已知条件确定分布参数时，可能会出现计算错误。

三、多维随机变量及其分布

（一）考点概述

主要考查二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布，随机变量的独立性，以及二维连续型随机变量的联合概率密度函数、边缘概率密度函数和条件概率密度函数等。还会涉及二维随机变量函数的分布，如和的分布、最大值与最小值的分布等。

（二）真题示例

题目：（2021年数学一）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=e?y,0xy0,其他，则P(X+Y

联立y=xx+

积分区域为0x12，

P(

先计算内层积分x1

再计算外层积分01

01

化简得1+e?1

01

正确计算：0

=e

最终准确：01

正确：0

先算∫

则01

正确过程：0

∫

01

正确：0

先对y积分：x

再对x积分：0

（三）易错点

在确定二维随机变量的积分区域时容易出错，特别是在处理复杂的约束条件时。对于随机变量独立性的判断，可能会忽略联合分布与边缘分布的关系。

四、随机变量的数字特征

（一）考点概述

考查随机变量的期望、方差、协方差和相关系数的定义、性质和计算方法，以及数字特征在解决实际问题中的应用。

（二）真题示例

题目：（2018年数学三）设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(1,1)，则E(XY+1)=（）

解题思路：根据期望的性质E(a

2.已知X与Y相互独立，所以E(XY)=E(X)E(Y)，又

3.而E(1)=

（三）易错点

在使用期望和方差的性质时，没有注意前提条件，如X与Y相互独立时才能使用E(X

五、大数定律和中心极限定理

（一）考点概述

主要考查切比雪夫大数定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律以及独立同分布的中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯定理，通常要求考生利用这些定理进行近似计算或证明。

（二）真题示例

题目：（2017年数学一）设X1,X2,?,Xn是来自总体X的简单随机样本，且E(X)=μ，D(X)=σ2，则当n充分大时，i=1

（三）易错点

对大数定律和中心极限定理的条件和结论记忆不准确，容易混淆不同定理的应用场景。在应用中心极限定理进行近似计算时，没有正确标准化随机变量。