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考研数学线性代数：线性方程组与特征值核心知识点

线性方程组和特征值是线性代数的核心内容，在考研数学中常以大题或小题形式考查，以下为你详细梳理相关知识点。

一、线性方程组

（一）基本概念

线性方程组：由n个未知数x1,x2,?,xn和m个线性方程组成的方程组，一般形式为a11x1+a12x2+?+a1nxn=b1a21

（二）解的判定

齐次线性方程组Ax=0：一定有解（至少有零解），有非零解的充要条件是系数矩阵的秩r(A)

非齐次线性方程组Ax=b：有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A=(A|b)的秩，即r(A)=

（三）解的结构

齐次线性方程组Ax=0：若ξ1,ξ2,?,ξn?r是Ax=0的基础解系（基础解系所含向量个数为

非齐次线性方程组Ax=b：若η*是Ax=b的一个特解，ξ1,ξ2,?,ξn?

（四）求解方法

高斯消元法：通过初等行变换将增广矩阵A化为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，然后根据矩阵形式写出方程组的解。

克莱姆法则：对于n个方程n个未知数的线性方程组Ax=b，若系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一解，且xj=|Aj||A|，j=

二、特征值与特征向量

（一）基本概念

特征值与特征向量：设A是n阶矩阵，如果存在数λ和非零n维列向量ξ，使得Aξ=λξ成立，则称λ是矩阵A的特征值，ξ是矩阵A属于特征值

特征方程：由Aξ=λξ可变形为(λE?A)ξ=0，因为ξ≠0，所以齐次线性方程组(λE?A)ξ

（二）特征值与特征向量的求解步骤

1.计算特征多项式：计算|λE?A|，得到关于λ

2.求解特征方程：令|λE?A

3.求特征向量：对于每个特征值λi，求解齐次线性方程组(λiE?

（三）特征值与特征向量的性质

性质1：n阶矩阵A与它的转置矩阵AT

性质2：若λ1,λ2,?,λn是n阶矩阵A的特征值，则i=1nλi

性质3：属于不同特征值的特征向量线性无关。

性质4：若λ是矩阵A的特征值，ξ是属于λ的特征向量，则对于多项式f(x)，f(λ)是矩阵f(A)

（四）相似对角化

定义：若存在可逆矩阵P，使得P?1AP=Λ，其中Λ是对角矩阵，则称矩阵A可相似对角化，对角矩阵Λ的对角元素就是矩阵A的特征值，可逆矩阵P

矩阵可相似对角化的充要条件：n阶矩阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量；n阶矩阵A可相似对角化的充分条件是A有n个互不相同的特征值。

相似对角化的步骤：求矩阵A的特征值；求每个特征值对应的线性无关的特征向量；将特征向量作为列向量构成可逆矩阵P，则P?1

三、线性方程组与特征值的联系

对于齐次线性方程组(λE?A)x=0，其特征值λ与矩阵A相关，求解该方程组就是求矩阵

矩阵的特征值和特征向量可用于判断线性方程组的解的情况，例如，若矩阵A可相似对角化，可通过相似变换将线性方程组转化为更简单的形式进行求解。