考研数学高等数学极限连续导数积分.docxVIP

考研数学高等数学：极限、连续、导数、积分核心知识点

考研数学中高等数学的极限、连续、导数、积分是核心考点，下面为你详细介绍各部分的关键内容。

一、极限

（一）极限的定义与性质

定义：设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0|x?x0|δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式|

性质：极限具有唯一性、有界性、保号性等。例如，若limx→x0f(x)=A

（二）极限的计算方法

四则运算法则：若limx→x0f(x)=A，lim

等价无穷小替换：当x→0时，常见的等价无穷小有sinx～x，tanx～x

洛必达法则：适用于00型或∞∞型的未定式。若limx→x0f(x)g(x)为

重要极限：limx→0sinxx=

二、连续

（一）连续的定义

设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果limx→x0f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点都连续，则称f(x)

（二）间断点及其分类

间断点：函数f(x)在点x0处不连续，则称x0

分类：第一类间断点（左右极限都存在）包括可去间断点（左右极限相等）和跳跃间断点（左右极限不相等）；第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）。

（三）闭区间上连续函数的性质

有界性定理：闭区间上的连续函数在该区间上有界。

最大值和最小值定理：闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。

介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点

三、导数

（一）导数的定义

设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)?f(x0)；如果Δy与

（二）导数的几何意义

函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0

（三）导数的计算

基本求导公式：如(xn)′=nxn?1

求导法则：包括加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则以及复合函数求导法则。复合函数求导法则为：若y=f(u)，u=g(x)，则

（四）高阶导数

函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍然是x的函数，如果y′仍可导，则称y

四、积分

（一）不定积分

定义：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)（或f(x)dx）在区间I上的不定积分，记作∫

积分方法：包括换元积分法（第一类换元法和第二类换元法）和分部积分法。第一类换元法（凑微分法）：若∫f(u)du=F(u)+C，且u=φ(x)可微，则∫f[φ(x)]φ′(

（二）定积分

定义：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0x1x2?xn?1xn=b，把区间[a,b]分成n个小区间[xi?1,xi]，其长度为Δxi=xi

性质：定积分具有线性性、区间可加性、积分中值定理等。积分中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b

计算方法：牛顿-莱布尼茨公式：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间

（三）反常积分

无穷限的反常积分：a+∞f(x)dx

无界函数的反常积分：设函数f(x)在区间(a,b]上连续，而在点a的右邻域内无界，取ε0，如果极限limε→0+a+εbf(x)dx存在，则称此极限为函数f(x