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考研数学线性方程组解的结构与性质
线性方程组是考研数学线性代数部分的核心内容，解的结构与性质是重点考点，下面从齐次和非齐次线性方程组两方面介绍。
一、齐次线性方程组
齐次线性方程组的一般形式为Ax=0，其中A是m×n矩阵，x
（一）解的性质
性质1：若ξ1,ξ2是齐次线性方程组Ax=0的解，则
证明：因为Aξ1=0，A
性质2：若ξ是齐次线性方程组Ax=0的解，k是任意常数，则kξ也是
证明：A(
（二）解的结构
基础解系：齐次线性方程组Ax=0的解空间（所有解构成的向量空间）的一个极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。若r(A)=
通解：齐次线性方程组Ax=0的通解是基础解系的线性组合。设ξ1,ξ2,?,ξn?r是
二、非齐次线性方程组
非齐次线性方程组的一般形式为Ax=b，其中A是m×n矩阵，x是n维列向量，b是非零m
（一）解的性质
性质1：若η1,η2是非齐次线性方程组Ax=b的解，则
证明：因为Aη1=b，A
性质2：若η是非齐次线性方程组Ax=b的解，ξ是其导出组Ax=0的解，则η
证明：因为Aη=b，Aξ
（二）解的结构
通解：非齐次线性方程组Ax=b的通解是其一个特解加上其导出组Ax=0的通解。设η*是Ax=b的一个特解，ξ1,ξ2,?,
三、求解步骤与要点
1.判断解的情况：通过对系数矩阵A和增广矩阵A=(A|b)进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，根据r(A)和r(A
2.求齐次方程组的基础解系：对于齐次线性方程组Ax=0，当r(A)
3.求非齐次方程组的特解和通解：对于非齐次线性方程组Ax=b，当r(A)=r(A)
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