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考研数学概率统计：大数定律与中心极限定理

一、大数定律

大数定律是概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律，它揭示了大量随机现象平均结果的稳定性。

（一）切比雪夫大数定律

定义：设X1,X2,?,Xn,?是相互独立的随机变量序列，各有数学期望E(X1),E(X2),?,E

含义：在满足上述条件下，当n充分大时，n个随机变量的算术平均数1ni=1n

（二）伯努利大数定律

定义：设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有lim

含义：当试验次数n很大时，事件A发生的频率nAn依概率收敛于事件A发生的概率

（三）辛钦大数定律

定义：设X1,X2,?,Xn,?是相互独立且服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望

含义：只要随机变量序列独立同分布且期望存在，那么其算术平均值就会依概率收敛于期望。它不要求随机变量的方差存在，适用范围更广。

二、中心极限定理

中心极限定理是研究在什么条件下，大量独立随机变量的和的分布近似于正态分布的定理，它在概率论和统计学中具有极其重要的地位。

（一）独立同分布的中心极限定理（列维-林德伯格定理）

定义：设X1,X2,?,Xn,?是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=μ，D(Xi)

含义：无论总体服从什么分布，只要总体的期望和方差存在，当样本容量n足够大时，样本均值的标准化变量X?μσ/n（其中X=1n

（二）棣莫弗-拉普拉斯定理

定义：设随机变量Xn服从参数为n和p的二项分布B(n,p)（n=

含义：二项分布是离散型分布，当n充分大时，二项分布可以用正态分布来近似。即Xn～B(n,p)近似服从正态分布N(np,np(1?p))

三、大数定律与中心极限定理的应用

大数定律的应用：在保险行业中，通过大量独立投保人的保费缴纳和理赔情况，利用大数定律可以预测保险公司在长期内的收支平衡；在质量控制中，通过多次抽样检测产品的质量指标，根据大数定律可以估计产品的总体质量水平。

中心极限定理的应用：在抽样调查中，当总体分布未知时，根据中心极限定理，可以用正态分布来近似样本均值的分布，从而进行参数估计和假设检验；在质量控制中，利用中心极限定理可以对生产过程中的产品质量波动进行分析和控制。