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考研数学多元函数微分学：偏导数与全微分

多元函数微分学是考研数学的重点内容，偏导数和全微分是其中核心概念，下面为你详细介绍。

一、偏导数

（一）定义

二元函数偏导数：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量f(x0+Δx,y0)?f(x0,y0)

偏导函数：如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记作

（二）计算方法

求偏导数时，将其他变量视为常数，然后按照一元函数求导法则进行求导。例如，对于z=x2y+siny，求?z?x时，把y看作常数，?z

（三）几何意义

函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数fx(x0,

对y的偏导数fy(x0,y0)表示曲面z=f(x,y

二、全微分

（一）定义

设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，如果函数在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)?f(x,y)可表示为Δz=AΔx+BΔy+o((Δx)2+(Δy)2)，其中A、B不依赖于Δx、Δy而仅与x、y有关，

（二）可微的必要条件

如果函数z=f(x,y)在点(x,y)

（三）可微的充分条件

如果函数z=f(x,y)的偏导数?z?x、?

三、偏导数与全微分的关系及应用

（一）关系

偏导数存在是可微的必要条件而非充分条件，即偏导数存在不一定可微，但可微一定偏导数存在。当偏导数连续时，函数一定可微。

（二）应用

近似计算：利用全微分可以进行函数的近似计算。若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)

多元函数极值问题：通过求偏导数找到函数的驻点（偏导数为零的点），再利用二阶偏导数判断驻点是否为极值点。