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考研数学二线性代数矩阵行列式题库

一、行列式基础计算

1.题目：计算四阶行列式(D=

)。

解题思路：

-可将行列式的各列都加到第一列，然后提取公因式，再通过行列式的性质化简计算。

-第一步：(D=

=

)

-第二步：提取第一列的公因式(10)，得到(D=10

)

-第三步：用第一行乘以(-1)加到其余各行，(D=10

)

-第四步：按第一列展开，(D=10

)，再进一步化简计算该三阶行列式可得结果为(160)。

2.题目：已知(n)阶行列式(D_n=

)，求(D_n)。

解题思路：

-把行列式的各列都加到第一列，然后提取公因式，再通过行列式的性质化为上三角行列式。

-第一步：(D_n=

=[x+(n-1)a]

)

-第二步：用第一行乘以(-1)加到其余各行，(D_n=[x+(n-1)a]

)

-第三步：根据上三角行列式的值等于主对角线元素之积，可得(D_n=x+(n-1)a^{n-1})。

二、矩阵运算与行列式结合

1.题目：设(A)为(3)阶矩阵，(A=2)，求(2A{-1})和(A*)。

解题思路：

-根据矩阵行列式的性质：若(A)是(n)阶矩阵，(k)为常数，则(kA=knA)；(A{-1}=A)，(A^=A{n-1})。

-对于(2A{-1})，因为(A)是(3)阶矩阵，所以(2A{-1}3A{-1})，又因为(A^{-1}=)，已知(A=2)，则(A{-1}=)，所以(2A{-1}=4)。

-对于(A)，因为(n=3)，(A^=A{n-1}=A{2}=22=4)。

2.题目：设(A,B)均为(n)阶矩阵，且(A=2,B)，求(2ATB{-1})。

解题思路：

-根据矩阵行列式的性质：(kA=knA)，(AT=A)，(B^{-1}=)。

-则(2ATB{-1}nATB{-1})，因为(AT=A=2)，(B{-1}==-)，所以(2ATB{-1}n(-)=-)。

三、行列式与矩阵秩的关系

1.题目：设(A)是(4)阶矩阵，若(A=0)，证明(r(A))。

解题思路：

-根据矩阵可逆的充要条件：(n)阶矩阵(A)可逆的充要条件是(A)，且可逆矩阵的秩等于阶数(n)。

-已知(A)是(4)阶矩阵且(A=0)，说明(A)不可逆，那么(A)的秩(r(A))不等于(4)，即(r(A))。

2.题目：设(A)为(n)阶矩阵，(A)，(B)是(n)阶矩阵，且(AB=O)，证明(B=O)。

解题思路：

-因为(A)，所以(A)可逆，即存在(A^{-1})。

-已知(AB=O)，在等式两边同时左乘(A{-1})，得到(A{-1}(AB)=A^{-1}O)。

-根据矩阵乘法的结合律(A{-1}(AB)=(A{-1}A)B=EB=B)，而(A^{-1}O=O)，所以(B=O)。

这些题目涵盖了考研数学二线性代数中矩阵行列式的常见考点，包括行列式的计算、矩阵运算与行列式的结合以及行列式与矩阵秩的关系等。通过练习这些题目，可以加深对相关知识点的理解和掌握。