湖南省永州市宁远县第三中学2025^2026学年高三上学期开学考试数学试题[有解析].docxVIP

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2025年下期宁远三中高三开学考试

数学

选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（）

A.极差 B.众数 C.平均数 D.中位数

2．已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（）

A.1 B. C. D.2

3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（）

A. B.2 C. D.

4．双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（）

A. B.

C. D.

5．一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（）

A.极差变大 B.平均数变大 C.方差变小 D.第25百分位数变小

6．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

7．甲、乙、丙三个地区分别有、、的人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（）

A. B. C. D.

8．已知双曲线：的左右焦点分别为，过点作直线交双曲线右支于两点（点在轴上方），使得.若，则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．现有甲?乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分分）.设事件表示从甲机构测评分数中任取个，至多个超过平均分”，事件表示“从甲机构测评分数中任取个，恰有个超过平均分”.下列说法正确的是（）

机构名称

甲

乙

分值

90

98

90

92

95

93

95

92

91

94

A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分

B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差

C.乙机构测评分数的第一四分位数为91.5

D.事件互为对立事件

10．2023年旅游市场强劲复苏，7，8月暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（）

A.事件与互斥 B.

C. D.

11．棱长为2的正方体中，下列选项中正确的有（）

A.过的平面截此正方体所得的截面为四边形

B.过的平面截此正方体所得的截面的面积范围为

C.四棱锥与四棱锥的公共部分为八面体

D.四棱锥与四棱锥的公共部分体积为

三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．已知?的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率__________.

13.已知是边长为8的正三角形，是的中点，沿将折起使得二面角为，则三棱锥外接球的表面积为___________．

14.已知是双曲线上任意一点，若到的两条渐近线的距离之积为，则上的点到焦点距离的最小值为__________．

四，解答题：本题共5个小题，共77分。

15，如图，在中，AD平分，且.

（1）求的值；

（2）若，，求的面积.

16，如图所示，是四棱锥的高，四边形为正方形，点是线段的中点，.

（1）求证：；

（2）若点是线段上靠近的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值.

17，已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

18，高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行?水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.

（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？

（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为，求的分布列.

19，已知函数，其中.

（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

答案

一，