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湖南省长沙市雅礼教育集团2025-2026学年高一上学期入学考试

数学试卷

一、填空题（共18题，每小题3分，共54分.请将答案直接填在答题卡的相应位置）

1.如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角即平行于的光线与的切线所成的锐角的大小为__________

2.某地区七年级共有2000名男生，为了解这些男生的体重指（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下：

等级

低体重

正常

超重

肥胖

BMI

人数

6

75

15

4

根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是__________．

3.现有六张分别标有数字，，，，，的卡片，其中标有数字，，的卡片在甲手中，标有数字，，的卡片在乙手中两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________

4.如图，矩形内接于，是上一点，连接，分别交于点，若，，则的直径为__________．

5.如图，在中，，，是的中点，是上的点，连接，的平分线交于点，连接若，，则的长为______．

6.若点和点在一次函数的图象上，则______用“”“”或“”连接

7.若式子有意义，则的取值范围是______．

8.如果，那么代数式值为______．

9.关于的不等式的解集为，则的值是______．

10.计算的结果是______．

11.亿用科学记数法表示______．

12.抛物线的图象与轴交于，其中，下列五个结论：①；②；③；④；⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.其中正确的有______．

13.在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点位置不可能在第______象限．

14.若，则值为______．

15.如图，直线，相交于点，，，则的度数是______.

16.已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的值可以是______.（写一个符合条件的的值即可）

17.已知抛物线：，下列结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线必过点和点；③当时，的值随值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数，不等式恒成立.其中结论正确的有______（填序号）.

18.如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为圆心，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为______．

二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置）

19.如图，中，，是的角平分线．

（1）若，求的度数；

（2）若是的中点，的面积为，，求的长．

20.已知关于的一元二次方程．

（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；

（2）若，满足求值．

21.如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景已知点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，相距千米参考数据：

（1）求的距离结果保留根号；

（2）小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为千米小时观光车的速度为千米小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，说明理由结果精确到

22.如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接．

（1）若与相似，求的值；

（2）连接，，若，求值；

（3）试证明：的中点在的一条中位线上．

23.问题背景】如图，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上，连接．

（1）【初步感知】若，，三点在同一条直线上时，求的度数；

（2）【研究感悟】若正方形的边长为，求的最小值；

（3）【深度探索】如图，延长交于点，若，求证：是线段的黄金分割点．

答案

1.【正确答案】43

2.【正确答案】1500

3.【正确答案】

4.【正确答案】

5.【正确答案】##

6.【正确答案】

7.【正确答案】

8.【正确答案】

9.【正确答案】

10.【正确答案】

11.【正确答案】

12.【正确答案】③④⑤

13.【正确答案】四

14.【正确答案】

15.【正确答案】

16.【正确答案】（答案不唯一）

17.【正确答案】①②④

18.【正确答案】##

19.【小问1】

中，，

，，

是的角平分线．

；

【小问2】

是的中点，，

，

，的面积为，

，

．

20.【小问1】

由题意得，