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线性系统的能控性和能观性线性系统的能控性和能观性线性系统的能控性和能观性线性系统的能控性和能观性线性系统理论线性系统的能控性和能观性*第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日线性系统理论线性系统的能控性和能观性*3.1能控性和能观性的定义3.2线性时变系统的能控性判据3.3线性定常系统的能控性判据3.4对偶原理与能观性判据3.5线性系统的能控、能观性指数3.6SISOS的能控规范型和能观规范型3.7MIMOS的能控规范型和能观规范型第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日线性系统理论线性系统的能控性和能观性*3.1能控性和能观性的定义3.1.1问题的提出研究系统的目的：更好地了解系统、控制系统。了解系统的含义：系统的组成、结构、属性和运动规律等。控制系统的含义：当前状态经一定时间是否转移到期望状态。能控性问题：已知系统当前时刻及其状态，是否存在一个容许控制，使系统在该控制作用下于有限时间后到达希望的特定状态？能观性问题：已知某系统及其在某时间段上的输入和输出，可否依据这一时间段上的输入和输出决定系统这一时间段上的状态？第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日线性系统理论线性系统的能控性和能观性*3.1.2能控性定义定义：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0?J的一个非零初始状态x0,存在一个时刻t1?J,t1t0和一个无约束的容许控制u(t),t?[t0,t1],使得系统在此控制作用下，系统由x0出发的运动轨线经过时间t1-t0后由x0转移到x(t1)=0,则称x0是系统在t0时刻的一个能控状态。定义：对于线性时变系统，?x0?0，都是在t0时刻的能控状态，则称系统在时刻t0是完全能控的；?t0?[T1,T2],系统均在t0时刻为能控的，称系统在[T1,T2]上是完全能控的。定义：对于系统取定初始时刻t0?J，若状态空间存在一个非零状态在时刻t0是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全能控的。注：1、状态转移对轨迹不加限制及规定；2、无约束表示幅值不加限制；3、容许控制：J上平方可积，能量有限；4、由零状态转移到非零状态，称为状态能达的。第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日线性系统理论线性系统的能控性和能观性*3.1.3能观性定义第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日线性系统理论线性系统的能控性和能观性*定义（状态能观测）：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0?J的一个非零初始状态x0,存在一个有限时刻t1?J,t1t0,使得有区间[t0,t1]上的系统输出可唯一地决定系统的初始状态x0，则称此x0在时刻t0为能观测的。（状态能观测）定义（状态不能观测）：对于线性时变系统，若对取定初始时刻t0?J的一个非零初始状态x0,若?t1?J,t1t0,均有y(t)=0,t?[t0,t1],则称此x0在时刻t0为不能观测的。定义（完全能观测的）：对于线性时变系统，若状态空间的所有状态都是时刻t0(t0?J)的能观测状态,称系统在时刻t0是完全能观测的。若?t0?[T1,T2],系统均在t0时刻是完全能观测的，称系统在区间[T1,T2]上是完全能观测的。定义（不完全能观测的）：对于线性时变系统，取定初始时刻t0?J，若状态空间存在一个或一些非零状态在t0的是不可能观测的,称系统在时刻t0是不完全能观测的。第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日线性系统理论线性系统的能控性和能观性*3.2线性时变系统的能控性判据3.2.1Gram矩阵判据3.2.2基于状态转移矩阵的判据定理：假设A(t)和B(t)均是t的连续函数矩阵，则系统在时刻t0能控的充要条件是存在某个有限时刻t1t0,使得矩阵?(t1,?)B(?)在[t0,t1]上是行线性独立，即对任意n维非零向量Z,都有ZT?(t1,?)B(?)?0.第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日线性系统理论线性系统的能控性和能观性*3.2.3基于系统参数矩阵的判据第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日线性系统理论线性系统的能控性和能观性*3.3线性定常系统的能控性判据3.3.1定常系统能控性的特殊性引理：设线性定常系统在t0?[0,?]时刻完全能控，则它必在[0,?]上完全能控。3.3.2能控性矩阵判据定理：定常线性系统能控性的充要条件是rank[BAB…An-1B]=n3.3.3PB