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无穷级数第十章高等职业教育“十二五”规划教材高等职业教育公共基础课规划教材高职数学

级数的概念和性质01

01级数的概念定义设给定一个数列u1,u2,u3,...,un,...则表达式u1+u2+u3+...+un+...称为无穷级数,简称级数。

02收敛级数的性质推论推论如果lim(n→∞)un不存在或lim(n→∞)un≠0,则级数∑∞n=1un发散。

常数项级数的审敛法02

01正项级数及其审敛法定义若un≥0(n≥1,2,...),则称级数∑∞n=1un为正项级数。

02交错级数及其审敛法定理若交错级数∑∞n=1(-1)n-1un满足条件:(1)un≥un+1(n=1,2,...);(2)lim(n→∞)un=0则级数∑∞n=1(-1)n-1un收敛,且其和S≤u1。

03任意项级数的审敛法定理若级数∑∞n=1|un|收敛,则级数∑∞n=1un收敛。

幂级数03

01幂级数及其敛散性定义形如∑∞n=0anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...的级数称为幂级数,其中a0,a1,a2,...,an,...为常数。

02幂级数的运算性质幂级数逐项求导数和逐项积分得到的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径，但收敛区间端点上的敛散性可能不同，由此也可知道，幂级数在其收敛区间上可以逐项求导数或逐项积分任意有限次。

函数的幂级数展开式04

01泰勒级数泰勒级数若函数f(x)在点x0的某邻域内有n+1阶导数，则在该邻域内f(x)可展开为n阶泰勒公式。

02直接法将一个函数f(x)展开成x的幂级数的步骤如下:(1)计算f(x)的各阶导数;(2)写出对应的泰勒级数，并求出其收敛半径R;(3)验证在|x一x0|R时;(4)写出所求函数f(x)的泰勒级数及其收敛区间。

03间接法间接法一般情况下，只有少数简单函数能以直接法展开成幂级数，而且计算时要逐项求与计算系数，还要判定余项的极限是否为零，过程较为麻烦。对于更多的函数，我们利用已知的几个函数的幂级数展开式和幂级数的运算性质，采用间接方法，来求另一些函数的幂级数展开式。

04幂级数的应用幂级数的应用求下列各数的近似值(1)e;(2)sin12°(精确到小数点后4位小数)。

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