高职数学第2章.pptxVIP

极限与连续第二章高等职业教育“十二五”规划教材高等职业教育公共基础课规划教材高职数学

极限的概念01

01数列的极限数列的极限为数列极限做准备,先改造数列的概念。按照某一法则,取得一列有序的数x1,x2,x3,...,xｎ,...，叫作数列,记为{xｎ}。其中的每一个数称为数列的项,第n项xｎ称为数列的通项.

02函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限定理:lim(x→∞)f(x)=A的充分必要条件是lim(x→-∞)f(x)=lim(x→+∞)f(x)=A.定理:lim(x→x0)f(x)=A的充分必要条件是lim(x→x0-)f(x)=lim(x→x0+)f(x)=A.

03极限的性质唯一性有界性保号性若极限limf(x)存在,则极限值唯一。若极限limf(x)存在,则函数f(x)在x0的某个邻域内有界。若lim(x→x0)f(x)=A且A0(A0),则在x0的某个去心邻域内,恒有f(x)0(f(x)0)；反之,若lim(x→x0)f(x)=A,且在x0的某个去心邻域内,恒有f(x)≥0(f(x)≤0),则A≥0(A≤0。

04无穷小量与无穷大量无穷小量无穷小量的性质无穷大量如果在自变量的某个变化过程中,函数y的绝对值无限变小,即以零为极限,称变量y为无穷小量.推论:无穷小量与常数的乘积仍是无穷小量.(1)无穷大不是一个数,而是一个特殊的极限不存在,所以一个常数不管其有多大,它也不是无穷大;(2)无穷大可以分为正无穷大和负无穷大.

04无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的比较在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小互为倒数.在自变量的同一个变化过程中，不同的无穷小量趋向于零的“快慢”程度不一定相同。为比较这种趋向于零的“快慢”程度，定义无穷小量的阶.

极限的运算法则02

极限的运算法则定理如果在自变量的同一变化过程中,f(x)和g(x)的极限都存在,且limf(x)=A,limg(x)=B则lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B我们只证如果lim(x→x0)f(x)=A,lim(x→x0)g(x)=B,则lim(x→x0)[f(x)+g(x)]=lim(x→x0)f(x)+lim(x→x0)g(x)=A+B其余的证明类同.

两个重要极限03

01第一个重要极限第一个重要极限lim(x→x0)sinx/x=1表明:(1)这是一个“0/0”型极限；(2)不管x怎么变化,只要对象φp(x)→0,则sinφ(x)/φ(x)→1,即lim(φ(x)→0)sinφ(x)/φ(x)=1;(3)由商的极限运算法则,有lim(φ(x)→0)sinφ(x)/φ(x)=1.

02第二个重要极限(1)第二个重要极限是“1”型,也记“(1+0)∞”型;(2)在第二个重要极限的三种表达式中,无穷小与无穷大的表达式恰好成倒数关系;(3)不管x怎么变化,只要对象φ(x)→0,则[1+φ(x)]1/φ(x)=e,即lim(φ(x)→0)[1+φ(x)]1/φ(x)=e。由第二个重要极限的三种表达式及过程可知:

函数的连续性04

01改变量或增量改变量或增量我们把变量u的终值u1与初值u0的差u1-u0为变量u的改变量,也称增量,记△u,即△u=u1-u0。

02函数在一点处的连续性定理函数f(x)在点x0处既左连续又连续是函数f(x)在点x0处连续的充必要条件，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)?lim(x→x0-)f(x)=lim(x→x0+)f(x)=f(x0)。

03函数在区间的连续性定义若函数f(x)在区间(a,b)内每一点处都连续，则称函数f(x)在区间(a,b)内连续，区间(a,b)称为函数的连续区间；若函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在点a处右连续，在点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，此时区间[a,b]为f(x)的连续区间。

04初等函数的连续性定理2.8定理2.9基本初等函数在其定义域内连续。由极限的运算法则，根据定理2.8得如下定理。初等函数在其定义域内连续。定理2.9是代入法求极限的基础。

05函数的间断点设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果f(x)在点x0处不连续，则称点x0为函数f(x)的不连续点或间断点，也称函数f(x)在点x0处间断。间断点在函数讨论中有重要的意义，所以我们要掌握求函数间断点的方法。定义:

06间断点的分类通常，我们把间断点分为两类:左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点;左、右极限至少一个不存在的闻断点称为第二类间断点。间断点的分类

07闭区间上连续函数的性质(1)(2)(3)闭区间[a,b]上连续的函数