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导数的应用第四章高等职业教育“十二五”规划教材高等职业教育公共基础课规划教材高职数学

微分中值定理01

01罗尔定理定理如果函数f(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)f(a)=f(b).则在区间(a,b)内至少存在一点ξ,使f’(ξ)=0.

02拉格朗日中值定理推论1推论2如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点处都有f’(x)=0则f(x)在区间(a,b)内是一个常数。如果函数f(x)与φ(x)在区间(a，b)内每一点都有f’(x)=φ’(x)则f(x)与φ(x)在区间(a,b)内仅差一个常数。

03柯西中值定理定理如果函数f(x)和g(x)满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导,且在(a,b)内每一点处,g(x)’≠0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使f’(ξ)/g’(ξ)=f(b)-f(a)/g(b)-g(a)

洛必达法则02

01洛必达法则定理设函数f(x)与g(x)满足条件:(1)lim(x→x0)f(x)/g(x)是“0/0”或“∞/∞”型未定式极限；(2)在点x0的某个邻域内(点x0可以除外)f(x)与g(x)可导,g’(x)≠0;(3)极限lim(x→x0)f‘(x)/g’(x)=A(或∞)则lim(x→x0)f(x)/g(x)=lim(x→x0)f(x)/g(x)。

02“0.∞”型“0.∞”型因为若a,b≠0,则a·b=a/1/b=b/a/1,所以“0.∞”型未定式，既可以变换成“0/0”型，也可以变换成“∞/∞”型的未定式.计算中,变换成何类型,要根据具体的极限表达式而定。

03“∞-∞”型“∞-∞”型与“0.∞”型的未定式极限一样,“∞-∞”型的未定式计算方法,也是通过恒等变形转换成“0/0”或“∞/∞”型后使用洛必达法则计算。

04“00”,“∞0”,“1∞”型“00”,“∞0”,“1∞”型由N=alogaN,得ab=elnab=eb.lna如因此“00”,“∞0”,“1∞”等类型未定式可依此转换成“0.∞”型后再计算。

函数单调性的判定03

函数单调性的判定函数的单调性可以通过导数的符号来判定

函数的极值04

01极值的概念极值的概念极大值与极小值统称为极值，极大点与极小点统称为极值点.显然，极值不可能在定义区间的端点上取得，且极值是一个局部性的概念。

02极值的必要条件极值的必要条件x0是极值点的必要条件是f’(x0)=0或f’(x0)不存在.

03极值的充分条件定理的几何意义如果可能极值点的左侧单调上升，右侧单调下降，则f(x0)是极大值;反之，若左侧单调下降，右侧单调上升，则f(x0)是极小值;而如果两侧单调性一样，则f(x0)不是极值，从而得到以下推论.推论:单调函数没有极值.

04求极值的一般步骤求解极值的一般步骤:(1)确定讨论范围,即函数f(x)的定义域D;(2)求函数f(x)的导数f’(x);(3)求出所有的可能极值点,即满足f’(x)=0和f;(x)不存在点;(4)如果函数f(x)既没有不可导点也没有驻点处的二阶导数为零,跳到(6),否则下一步(5);(5)分割定义域D,列表讨论,使用第I判别定理判定,跳到(7);(6)求出所有驻点处的二阶导数符号,使用第I判别定理判定;(7)求出极值.

函数的最值及其应用05

01闭区间上连续函数的最大值与最小值在闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，而且只可能出现在以下三类点处:(1)区间内的驻点;(2)区间内的不可导点;(3)区间的端点.

02开区间内连续函数的最大值与最小值在开区间(a,b)内求函数f(x)的最值,如果f(x)在区间(a,b)内仅有唯一可能极值点x0,必须验证f(x0)是否为极值?是极大值还是极小值?

03函数最值的应用一优化模型在生产实践中，常常会遇到在一定条件下如何能使成本最低、利润最高、容积最佳等问题，要解决这类问题我们往往是将其转化为求函数的最大值或最小值来求解.把应用数学工具为最优方案的抉择提供数据和解决问题的方法，称为优化模型.

曲线的凹凸性与渐近线06

定义01曲线的凹凸性与拐点定义设函数f(x)在区间(ab)内连续，则y=f(x)在区间(a,b)内的图形是一连续的曲线弧。曲线凹凸的分界点称为曲线的拐点。

02曲线的渐近线水平渐近线铅直渐近线斜渐近线

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