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高等职业教育“十二五”规划教材高等职业教育公共基础课规划教材高职数学第八章多元函数微分学

多元函数01

二元函数的定义01多元函数引例实际问题中,经常会遇到多个变量之间的依赖关系。设D是平面上的一个点集,如果对于每个点P(x,y)∈D，变量z按照一定法则总有唯一确定的值与之对应,则称z是变量x,y的二元函数。

二元函数的几何意义01多元函数二元函数的定义域二元区数有两个自变量,它们的自变量或者是整个平面,或者是平面上的一部分。确定的点的集合就是二元函数的图形,其通常是一张空间曲面∑。

02二元函数的极限与连续二元函数的极限多元函数的连续性动点P(x，y)可以沿平面上更为复杂的各种方式趋于定点P0。类似一元函数的连续定义,可利用多元函数极限的概念定义多元函数的连续性。

偏导数02

01偏导数偏导数的定义偏导数的几何意义在不产生混淆的情况下，我们以后把偏导函数也简称为偏导数。显然，偏导数的概念可推广到三元以上的函数情形。偏导数fy(x0，y0)表示曲面z=f(x，y)被平面X=X0。所截得曲线在点M0处的切点关于y轴的斜率,即fy(x0，y0)=tanβ。

02高阶偏导数设函数z=f(x，y)在区域D内具有偏导数?z/?x=fx(x，y)，?z/?x=fy(x，y)。一般地,在D内fx(x，y),fy(x，y)均是x，y的函数,若这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数的二阶偏导数。

全微分03

01全微分的定义定义如果二元函数z=f(x，y)在点(x,y)处的全增量△z=f(x+△x,y+△y)-f(x，y)可以表示为A△x+B△y+ω,即△z=A△x+B△y+ω。

02全微分在近似计算中的应用由全微分的定义可知，二元函数全微分具有类似于一元函数微分的两个性质:(1)dz是△x和△y的线性函数；(2)当(△x，△y)→(0，0)(即ρ→0)时,dz与△z之差是比ρ高阶的无穷小量.因此,当△x和△y都很小时，全增量可近似地用全微分代替。

二元复合函数与隐函数的微分法04

01二元复合函数微分法设z=f(u，v)是u，v的函数,而u，v又是x，y的函数,即u=φ(x，y)，v=φ(x，y)，于是z=f(φ(x,y),φ(x,y))是x,y的函数,称函数。z=f(φ(x，y)，φ(x，y))是由z=f(u，v)和u=φ(x，y)，v=φ(x，y)复合而成的复合函数。

02二元隐函数微分法设三元方程F(x，y，z)=0确定了一个二元函数z=f(x，y)。考察恒等式F(x，y，f(x，y))=0两侧的偏导数。

偏导数的几何应用05

01空间曲线的切线与法平面定义:设M0是空间曲线Г上的一点，M是Г上的另一点,则当点M沿曲线Г趋向于点M0，割线M0M的极限位置M0T(如果存在)，称为曲线Г在点M0处的切线,过点M0且与切线M0T垂直的平面，称为曲线Г在点M0处的法平面。

02曲面的切平面与法线定义设M0为曲面∑上的一点,若过点M0在曲面∑上的任何曲线在点M0处的切线均在同一个平面上，则称该平面为曲面∑在点M0处的切平面，过点M0且垂直于切平面的直线，称为曲面∑在点M0处的法线。

多元函数的极值06

01二元函数的极值二元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念，这一概念可推广到多元函数。

02二元函数的最值二元函数的最值与一元函数类似，对于有界闭区域D上的连续二元函数f(x,y),一定能在该区域上取得最大值和最小值.

03条件极值条件极值前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量，除了限制它在定义域内之外，再无其他的约束条件，因此，我们称这类极值为无条件极值，但是，在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题。

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