函数单调性和凹凸性.pptxVIP

2025/8/15《经济数学》第四章1经济数学

2025/8/15《经济数学》第四章2§4.3函数的单调性和

曲线的凹凸性

4.3.1函数的单调性（monotonicityoffunction）现实生活中，常遇到这样的情形：一个量不断增加时，另一个量也随着不断增加；或者一个量不断增加时，另一个量反而随着不断减少。其实这就是单调性的概念。另外，如果用描点法作出函数的图象，我们会发现当我们的视线从左往右看时，函数图象的一些部分是“上升”的，一些部分是“下降”的，好像山峦的起伏一样，为了区别：“上升”和“下降”，我们引入了函数“单调性”的概念。通过研究某些特定函数（事实上是那些基本初等函数）的单调性，我们可以知道任何函数（实际上是一切初等函数）的单调性，从而能画出它们的图形和研究它们的性质。下面我们利用导数来研究函数的单调性。

当时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看几何直观出，当时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；

01定理（单调性的充分条件）02定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，03则该区间称为函数的单调区间.

在内单调增加。如下图所示。例如：函数及在内单调减少，

问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．01定义:02导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．03

求单调区间的步骤:2025/8/15《经济数学》第四章8

例1、确定函数的单调区间.2025/8/15《经济数学》第四章9解:令得故的单调增区间为的单调减区间为列表讨论：

例2解单调区间为

观察抛物线与2025/8/15《经济数学》第四章124.3.2曲线的凹凸性，它们在区间内都是单调增加的，但弯曲的方这说明在研究函数的图形时，只知道它们的单调性是不够的，曲线的弯曲方向和弯曲方向的转变点对我们研究函数的性态也是十分重要的.这就是下面讨论的凹凸性与拐点。向不一样。

函数图象的凹凸分析：图象的上升与下降可用一阶导数的符号来判定。同是上升(或下降)曲线还有凹凸之分.凹弧的切线总是在曲线的下方凸弧的切线总是在曲线的上方从P点改变弯曲方向

问题:如何研究曲线的弯曲方向?定义曲线凹凸性的定义

当时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看几何直观出，当时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；

2、曲线凹凸的判定定理1如果在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶和二（1），则在[a,b]上的图形是凹的；（2），则在[a,b]上的图形是凸的；阶导数，若在（a,b）内

∴曲线在为凸的；2025/8/15《经济数学》第四章17注意：点（0,0）是曲线由凸变凹的分界点。解例3、判断曲线的凹凸性。∴曲线在为凹的。当时，当时，

3、曲线的拐点及其求法2025/8/15《经济数学》第四章18①、定义：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.②、拐点的求法定理2如果在内存在二阶导数，则点是拐点的必要条件是方法:设函数在的邻域内二阶可导，且（1）两近旁变号，点即为拐点；（2）两近旁不变号，点不是拐点；

例4求曲线的拐点及凹凸区间。解:令得：凹的凸的凹的拐点拐点∴凹区间为xy1-112列表讨论如下：，凸区间为

解：例5、求曲线的拐点。当时是不可导点，均不存在，但在内，,曲线在上是凹的；在内，,曲线在上是凸的；点是曲线的拐点。xy1-112-1-2

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