数值积分公式.pptVIP

第1页，共32页，星期日，2025年，2月5日内容提纲数值积分的必要性求积公式及其代数精度插值型求积公式Newton-Cotes公式及数值稳定性复化求积公式及误差估计第2页，共32页，星期日，2025年，2月5日

数值积分的必要性本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求被积函数f(x)?有解析表达式；?f(x)的原函数F(x)为初等函数．第3页，共32页，星期日，2025年，2月5日实际问题1.f(x)的原函数F(x)不能用初等函数表示例如函数:考虑一个实际问题:建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.第4页，共32页，星期日，2025年，2月5日假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.这个问题就是要求由函数f(x)=sinx给定的曲线,从x=0到x=48英寸间的弧长L.由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.第5页，共32页，星期日，2025年，2月5日2.有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数并不复杂,但它的原函数却十分复杂:第6页，共32页，星期日，2025年，2月5日

3.f(x)没有解析表达式，只有数表形式:x12345f(x)44.5688.5这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而,研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义.第7页，共32页，星期日，2025年，2月5日求积公式及其代数精度求积公式的概念积分值在几何上可解释为由x=a,x=b,y=0和y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边y=f(x)是曲的.第8页，共32页，星期日，2025年，2月5日依据积分中值定理,对于连续函数f(x),在[a,b]内存在一点ξ,使得称f(ξ)为区间[a,b]的平均高度.问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的.这样,只要对平均高度f(ξ)提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法.第9页，共32页，星期日，2025年，2月5日如果简单地选取区间[a,b]的一个端点或区间中点的高度作为平均高度,这样建立的求积公式分别是:左矩形公式:I(f)≈(b-a)f(a)右矩形公式:I(f)≈(b-a)f(b)中矩形公式:I(f)≈(b-a)f[(a+b)/2]第10页，共32页，星期日，2025年，2月5日此外,众所周知的梯形公式:I(f)≈(b-a)[f(a)+f(b)]/2和Simpson公式:I(f)≈(b-a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6则分别可以看作用a,b,c=(a+b)/2,三点高度的加权平均值[f(a)+f(b)]/2和[f(a)+4f(c)+f(b)]/6作为平均高度f(ξ)的近似值.第11页，共32页，星期日，2025年，2月5日更一般地,取区间[a,b]内n+1个点{xi},(i=0,1,2,…n)处的高度{f(xi)}(i=0,1,…,n)通过加权平均的方法近似地得出平均高度f(ξ),这类求积方法称为机械求积:第12页，共32页，星期日，2025年，2月5日或写成:数值积分公式求积系数求积节点(1)第13页，共32页，星期日，2025年，2月5日记称(2)为数值求积公式,(3)为求积公式余项(误差).构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有(i)确定求积系数Ak和求积节点xk；(ii)求积公式的误差估计和收敛性为了构造形如式(2)的求积公式,需要提供一种判定求积方法精度高低准则第14页，共32页，星期日，2025年，2月5日求积公式的代数精度定义1称求积公式(2)具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:(i)对所有次数≤m次的多项式,有(ii)存在m+1次多项式