2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第03讲平面向量的数量积及其应用(复习讲义)(原卷版+解析版).docxVIP

第03讲平面向量的数量积及其应用

目录

01TOC\o1-3\h\u考情解码?命题预警 2

02体系构建·思维可视 3

03核心突破·靶向攻坚 4

知能解码 4

知识点1平面向量数量积的有关概念 4

知识点2平面向量数量积的性质及其坐标表示 4

知识点3平面向量数量积的运算律 5

知识点4平面几何中的向量方法 5

题型破译 5

题型1平面向量数量积的定义 5

题型2平面向量数量积的运算 6

题型3数量积的坐标表示 7

题型4投影向量 8

题型5向量在几何中的应用 8

题型6向量在物理中的应用 9

题型7向量新定义 10

04真题溯源·考向感知 12

05课本典例·高考素材 12

考点要求

考察形式

2025年

2024年

2023年

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

?单选题

?多选题

?填空题

?解答题

全国二卷，第12题，5分

上海卷，第12题，5分

天津卷，第14题，5分

新课标I卷，第3题，5分

新课标II卷，第3题，5分

全国甲卷，第9题，5分

天津卷，第14题，5分

北京卷，第5题，4分

新课标I卷，第3题，5分

新课标II卷，第13题，5分

全国甲卷，第4题，5分

全国乙卷，第12题，5分

天津卷，14题，5分

考情分析：平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．

预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．

复习目标：

1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．

2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．

3.了解平面向量基本定理及其意义

4.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算

知识点1平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

(3)投影向量

如图，在平面内任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.

设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq\o(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.

自主检测（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（????）

A． B．

C．若，且，则 D．

知识点2平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.

(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.

(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝.

(3)夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).

(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?.

(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).

自主检测（多选）若，，则（???）

A． B．

C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为

知识点3平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝(交换律)