2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第01讲平面向量的概念及线性运算(复习讲义)(原卷版+解析版).docxVIP

第01讲平面向量的概念及线性运算

目录

01TOC\o1-3\h\u考情解码?命题预警 2

02体系构建·思维可视 3

03核心突破·靶向攻坚 4

知能解码 4

知识点1向量的有关概念 4

知识点2向量的线性运算 4

知识点3向量共线定理 5

知识点4平面向量的数量积 5

题型破译 6

题型1平面向量的概念与表示 6

题型2向量的几何表示 7

题型3相等向量与共线向量 8

题型4向量的加减运算 9

题型5向量的数乘运算 10

题型6向量的数量积 11

04真题溯源·考向感知 12

05课本典例·高考素材 12

考点要求

考察形式

2025年

2024年

2023年

（1）平面向量线性运算的坐标表示

（2）平面向量线性运算的坐标表示

（3）平面向量线性运算的坐标表示

（4）向量加法的法则

（5）向量减法的法则

?单选题

?多选题

?填空题

?解答题

上海卷，12题，5分

天津卷，14题，5分

新课标I卷，第3题，5分

天津卷，14题，5分

北京卷，第5题，4分

新课标I卷，第3题，5分

新课标II卷，第13题，5分

甲卷理科，第4题，5分

考情分析：本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分

一般考查平面向量的基本概念、线性运算，易理解，易得分，需重点复习

复习目标：

1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示

2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义

3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义

4理解向量的线性运算性质及其几何意义

知识点1向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量．

(5)相等向量：长度相等且的向量．

(6)相反向量：长度相等且的向量．

自主检测（多选）下列命题中为真命题的是（???）

A．若与是共线向量，则点、、、共线

B．若为非零向量，则与同向

C．若，则

D．若，，则

知识点2向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；

结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

自主检测下列结果不是零向量的是（???）

A． B．

C． D．

知识点3向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得.

向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．

（1）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.

（2）P为线段AB的中点?eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．

自主检测已知向量，，，，，则一定共线的三点是（???）

A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D

知识点4平面向量的数量积

1.向量的夹角

已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.

2.平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量a与b的数量积，记作.

3.平面向量数量积的几何意义

设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a

4.向量数量积的运算律

(1)a·b＝.

(2)(λa)·b＝＝(λ∈R).

(3)(a＋b)·c＝.

5.平面向量数量积的有关结论

已知非