电动力学二二唯一性定理.pptVIP

*第1页，共22页，星期日，2025年，2月5日一、静电问题的唯一性定理区域V可以分为若干个均匀区域Vi，每一均匀区域的电容率为?i。设V内有给定的电荷分布?(x)。电势φ在均匀区域Vi内满足泊松方程*第2页，共22页，星期日，2025年，2月5日除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出V的外边界S上的一些条件。在两区域Vi和Vj的分界面上满足边值关系*第3页，共22页，星期日，2025年，2月5日唯一性定理：设区域V内自由电荷分布为?(x)，在V的外边界S上给定（i）电势??s或（ii）电势的法向倒数(??/?n)?s则V内的电场唯一地确定。也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足给定的?或??/?n值。*第4页，共22页，星期日，2025年，2月5日证明：设有两组不同的解?’和?’’满足唯一性定理的条件。由得令*第5页，共22页，星期日，2025年，2月5日在两均匀区界面上有在整个区域V的边界S上有或*第6页，共22页，星期日，2025年，2月5日考虑第i个均匀区Vi的界面Si上的积分对所有分区Vi求和在均匀区界面内部边界积分相互抵消*第7页，共22页，星期日，2025年，2月5日这说明?’和?’’至多只能相差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。而右边被积函数?i(??)2?0。上式成立的条件是在V内各点上都有??=0，即在V内，外边界因积分亦为零或*第8页，共22页，星期日，2025年，2月5日二、有导体存在时的唯一性定理当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电势φi；另一类是给定每个导体上的总电荷Qi。*第9页，共22页，星期日，2025年，2月5日如图设在某区域V内有一些导体，除去导体内部以后的区域为V’。设V’内有给定电荷分布ρ，S上给定了?|s或(??/?n)|s值。*第10页，共22页，星期日，2025年，2月5日第二类型：设区域V内有一些导体，给定导体之外的电荷分布?，给定各导体上的总电荷Qi以及V的边界S上的?或??/?n值，则V内的电场唯一地确定。第一类型：当每个导体上的电势φi给定时，即给出了V’所有边界上的?或(??/?n)值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知，V’内的电场被唯一确定。*第11页，共22页，星期日，2025年，2月5日在第i个导体上满足总电荷条件和等势面条件以及在V的边界S上具有给定的?|s或(??/?n)|s值。也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程*第12页，共22页，星期日，2025年，2月5日证明设有两个解?’和?’’满足或则?满足*第13页，共22页，星期日，2025年，2月5日对区域V’用公式*第14页，共22页，星期日，2025年，2月5日上式左边的面积分包括V的边界S以及每个导体的表面Si上的积分。在Si上的积分在S上的积分由此*第15页，共22页，星期日，2025年，2月5日即?’和?’’至多只能相差一个常量，因而电场唯一确定。当导体外的电势确定后，导体上的电荷面密度由边值关系确定*第16页，共22页，星期日，2025年，2月5日