2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第04讲指数与指数函数（复习讲义）（原卷版）.docxVIP

第04讲指数与指数函数

目录

01TOC\o1-3\h\u考情解码?命题预警 2

02体系构建·思维可视 3

03核心突破·靶向攻坚 4

知能解码 4

知识点1指数与指数幂的运算 4

知识点2指数函数的图象与性质 5

题型破译 6

题型1根式与分数指数幂的化简运算 6

【方法技巧】底数相同

题型2定义域和解析式 7

【方法技巧】指数函数的解析式

题型3指数应用题 7

题型4值域 8

【方法技巧】换元为指数函数

【易错分析】易忽略新元的变化范围

题型5定点及图象问题 9

题型6单调性问题 10

题型7比较指数幂大小 10

题型8解指数不等式 11

题型9指数的综合应用 12

【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法

04真题溯源·考向感知 13

05课本典例·高考素材 14

考点要求

考察形式

2025年

2024年

2023年

（1）判断指数函数的单调性

（2）判断对数函数的单调性

（3）根据分段函数的单调性求参数

（4）指数型复合函数单调性

?单选题

?多选题

?填空题

?解答题

北京卷，第9题，4分

天津卷，第7题，5分

新课标I卷，第6题,5分

天津卷，第5题，5分

新课标I卷，第4题,5分

北京卷，第10题，5分

天津卷，第3题，5分

考情分析：

本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分

近三年考情显示，考点有判断指数函数的单调性、判断对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、指数型复合函数单调性、二次函数单调性、比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小。

复习目标：

1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.

2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.

3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

4.能结合指数函数比较指数式大小.

知识点1指数与指数幂的运算

1．根式

（1）次方根的概念与性质

次

方

根

概念

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.

性质

①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.

②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.

③0的任何次方根都为0，记作.

（2）根式的概念与性质

根

式

概念

式子叫做根式，这里叫做，叫做被开方数.

性质

①.

②当为奇数时，.

③当为偶数时，.

2．实数指数幂

（1）分数指数幂

①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.

于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.

②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且

.

③0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂.

（2）实数指数幂

对于任意实数，均有下面的运算性质：

①；②；③.

自主检测求值：；.

知识点2指数函数的图象与性质

1．指数函数的概念

一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.

【注】指数函数的结构特征：

（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1.

2．指数函数的图象与性质

定义域

值域

奇偶性

非奇非偶函数

对称性

函数与的图象关于对称

过定点

过定点，即时，

图象

单调性

在上是减函数

在上是增函数

函数值的变化情况

当时，；当时，.

当时，；当时，.

底数对图象的影响

指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中

①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；

②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.

即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.

自主检测已知函数的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是，实数b的取值范围是．

题型1根式与指数幂的运算

例1-1计算：（???）

A．0 B．1 C．100 D．5

例1-2设函数（且），如果，那么的值等于（???）

A．32 B．64 C．16 D．8

方法技巧指数运算与化简求值

(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加．

②运算的先后顺序．

（2）运算结