2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第04讲基本不等式及其应用（专项训练）（解析版）.docxVIP

第04讲基本不等式及其应用

目录

TOC\o1-2\h\u01常考题型过关练

题型01直接法求最值

题型02配凑法求最值

题型03二次与二次（一次）的商式求最值

题型04“1”的代换求最值

题型05双换元法求最值

题型06条件等式有和有积求最值

题型07消元法求最值

题型08多次使用基本不等式求最值

题型09利用基本不等式解决实际问题

题型10基本不等式与恒成立问题

题型11基本不等式与对勾函数

题型12多元均值不等式

题型13基本不等式多选题的综合

02核心突破提升练

03真题溯源通关练

01直接法求最值

1．若，且，则（???）

A．有最小值为 B．有最大值为

C．有最小值为 D．有最大值为

【答案】D

【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得.

故选：D.

2．已知正数满足，则的最小值为.

【答案】12

【详解】因为，所以，

当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为12.

故答案为：12.

3．已知正数，满足，则的最大值是（???）

A．4 B．6 C．1 D．2

【答案】D

【详解】．因为,所以,

从而，当且仅当时,等号成立,所以的最大值是2．

故选:D

4．若实数，满足，则的最小值是（）

A．18 B．6 C． D．

【答案】B

【详解】由于，故，

当且仅当，即时等号成立，

故选：B

5．（2025·安徽·三模）“”是“”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】时，结合基本不等式，，充分性成立；

当，时，满足，但此时，必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选:A.

02配凑法求最值

6．函数的最小值是（???）

A．7 B．1 C．5 D．

【答案】A

【详解】因为，所以，

所以．

当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7．

故选：A

7．已知，则的最小值为（???）

A．3 B．4 C． D．6

【答案】A

【详解】由，得，

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为3.

故选：A

8．已知，求的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

因此取到最大值．

故选：B.

9．回答下面两题

(1)已知，求的最大值．

(2)设，求的最大值．

【答案】(1)最大值1

(2)最大值．

【详解】（1），，，

，

当且仅当，即时，等号成立．

当时，取得最大值1．

（2），，

，

当且仅当，即时，等号成立．

当时，取得最大值．

03二次与二次（一次）的商式求最值

10．当时，求函数的最小值.

【答案】

【详解】因为，所以，

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以函数的最小值为.

11．函数的值域是．

【答案】

【详解】当时，

当，.

若时，，当且仅当，即时等号成立，此时

，即.

若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.

综上所述，函数的值域为.

故答案为：

12．（多选）下列各式中，最小值是6的有（????）

A． B． C． D．

【答案】BD

【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误；

对于B，因为，

所以，

当且仅当时等号成立，故B正确；

对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误；

对于D，因为，

所以，

当且仅当时等号成立，故D正确.

故选：BD

13．关于的方程有两个相等的正根，则（????）

A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值

【答案】B

【详解】因关于的方程有两个相等的正根，

所以，所以.

，

当且仅当时取等号，所以有最大值.

故选：B.

14．已知，且，则的最小值是（????）

A．6 B．8 C．14 D．16

【答案】A

【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即，

当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.

故选：A

15．已知，且，则最大值为．

【答案】

【详解】解：由且，可得，代入，

又，

当且仅当，即，

又，可得，时，不等式取等，

即的最大值为，

故答案为：．

04“1”的代换求最值

16．（2025·河北石家庄·一模）已知，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】，

，

当且仅当时等号成立

故选：D

17．已知，且，则的最小值是（????）

A．6 B．12 C． D．27

【答案】C

【详解】由，，得

，当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：C

18．若随机变量，且，其中m，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由随机变量，且，得，

则，

当且仅当时取等号，所以的最小值为，

故选:C

19．已知，，且，则