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高考数学复习《数列解答题》强化训练含答案
一、解答题
1．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
2．（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列的前项和为，且满足.试求:
(1)数列的通项公式;
(2)记，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数.
3．（2024·山东济南·模拟预测）已知复数数列an的通项公式为（是虚数单位），为an的前项和．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求的通项公式．
4．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
5．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．
6．（2024·天津南开·二模）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项.
(1)求的通项公式
(2)数列满足，且.
（ⅰ）求的前n项和.
（ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）数列的前n项和为，若存在正整数r，t，且，使得，同时则称数列为“数列”．
(1)若首项为3，公差为d的等差数列是“数列”，求d的值；
(2)已知数列为等比数列，公比为q．
①若数列为“数列”，，求q的值；
②若数列为“数列”，，求证：r为奇数，t为偶数．
8．（2024·海南·二模）设数列，如果A中各项按一定顺序进行一个排列，就得到一个有序数组．若有序数组满足恒成立，则称为n阶减距数组；若有序数组满足恒成立，则称为n阶非减距数组．
(1)已知数列，请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组；
(2)设是数列的一个有序数组，若为n阶非减距数组，且为阶非减距数组，请直接写出4个满足上述条件的有序数组；
(3)已知等比数列的公比为q，证明：当时，为n阶非减距数组．
高考数学复习《数列解答题》强化训练含答案
一、解答题
1．（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，借助等比数列的通项公式求出公比及首项即可.
（2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式求解即得.
【解析】（1）设等比数列an的公比为，由及，
得，
解得，于是，即，
所以数列an的通项公式是.
（2）由（1）知，，
所以
.
2．（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列的前项和为，且满足.试求:
(1)数列的通项公式;
(2)记，数列的前项和为，当时，求满足条件的最小整数.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）由已知结合和与项的递推关系进行转化，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）利用裂项求和求出，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解析】（1）因为，
当时，，
当时，，
因为，
两式相减得，，
因为，所以，
所以，均为等差数列，，．
所以；
（2）由题意得，，
所以，
因为，
所以，
解得．所以满足条件的最小整数为9．
3．（2024·山东济南·模拟预测）已知复数数列an的通项公式为（是虚数单位），为an的前项和．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求的通项公式．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据通项公式直接求解即可；
（2）分为奇数和为偶数，求出，从而可求得，然后作差比较与即可；
（3）根据通项公式结合复数的周期求出，然后利用分组并项求和法可求得结果.
【解析】（1）因为（是虚数单位），
所以
（2）当为奇数时，；
当为偶数时，．
因此无论为奇数还是偶数，．
，当时，上式大于0．
所以，
即
（3）因为（是虚数单位），
所以．
所以，
，
所以
.
4．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2).
【分析】（1）利用等比数列的定义证明，再根据等比数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得，再裂项相消可知，进而求解二次不等式即可.
【解析】（1）由题可知：，又，
故是首项为2，公比为2的等比数列，，即.
（2），
，且当趋于时，趋近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
5．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．
【
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