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高考数学复习《同构思想在解析几何的应用》强化训练含答案
一、解答题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值.
2．（2024·云南·模拟预测）抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．
??
(1)求抛物线的标准方程；
(2)当时，求弦AB的长；
(3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．
3．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，.已知点和都在双曲线上，其中为双曲线的离心率.
(1)求双曲线的方程;
(2)设是双曲线上位于轴右方的两点，且直线与直线平行，与交于点.
(i)若，求直线的斜率；
(ii)求证：是定值.
4．（2024·福建南平·模拟预测）已知抛物线的准线与圆相切．
(1)求的方程；
(2)点是上的动点，且，过点作圆的两条切线分别与交于两点，求面积的最小值．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知分别为椭圆的左顶点和上顶点，过点作一条斜率存在且不为0的直线与轴交于点，该直线与的一个交点为，与曲线的另一个交点为．
(1)若平分，求的内切圆半径；
(2)设直线与的另一个交点为，则直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由．
6．（2024·河北石家庄·三模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的左、右焦点分别为为坐标原点，直线与交于两点，点在第一象限，点在第四象限且满足直线与直线的斜率之积为．当垂直于轴时，．
(1)求的方程；
(2)若点为的左顶点且满足，直线与交于，直线与交于．
①证明：为定值；
②证明：四边形的面积是面积的2倍．
高考数学复习《同构思想在解析几何的应用》强化训练含答案一、解答题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为2.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点（异于点），证明：当直线，的斜率均存在时，，的斜率之积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题中条件找到双曲线中的，从而求出的方程.
（2）利用平移齐次化进行证明即可.
【解析】（1）由双曲线C:x2a2?
又离心率为2，则，即，
，即，代入，
可得，，，
因此，的方程为：.
（2）
将双曲线向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到双曲线为，得到的双曲线如图所示，
则平移到，平移到，
平移后，变为，，设，，直线的方程为：①，
②，
将①代入②，用“1”的代换得，则，
各项同时除以，得，则，
又直线过，则，即，
因此，
故当直线，的斜率存在时，，的斜率之积为定值.
【点睛】方法点睛：平移齐次化的步骤，
（1）平移；
（2）与圆锥曲线联立并其次化；
（3）同除；
（4）利用根与系数的关系进行证明结论；如果是过定点的问题还需要平移回去.
2．（2024·云南·模拟预测）抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．
??
(1)求抛物线的标准方程；
(2)当时，求弦AB的长；
(3)已知点，直线，分别与抛物线交于点，．证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由曲线图象经过点，可得，则得抛物线的标准方程；
（2）写出的方程,和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，则；
（3）设直线的方程为，，，，，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，．直线的方程为，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，同理可得，由，可得，则直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令，可得，则的直线过定点．
【解析】（1）曲线图象经过点，所以，所以，
所以抛物线的标准方程为．
（2）由（1）知，当时，,所以的方程为，
联立，得，则，
由，所以弦．
（3）由（1）知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
，，，，
联立得，，
因此，．
设直线的方程为，联立得，
则，因此，，得，
同理可得，
所以．
因此直线的方程为，
由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以，直线过定点．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
(3)求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
3．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，双曲线的上下焦点分别为，.已知点和都在双曲线上，其中为双曲线的离心率.
(1)求双曲线的
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