(人教A版数学选择性必修二)讲义第16讲拓展三：利用导数研究函数的零点(方程的根)(学生版+解析).docxVIP

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第07讲拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根）

一、知识点归纳

1、函数的零点

（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．

（2）三个等价关系

方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．

2、函数零点的判定

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．

注意：单调性+存在零点=唯一零点

二、题型精讲

题型01判断、证明或讨论函数零点（方程的根）的个数

1．（2022上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)设，求在区间上的最值；

(2)讨论的零点个数.

2．（2022下·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知函数，讨论函数的零点的个数.

3．（2022下·山东聊城·高二统考期末）已知函数，在处切线的斜率为-2.

（1）求的值及的极小值；

（2）讨论方程的实数解的个数.

4．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知．

(1)当时，求在上的单调性；

(2)若，令，讨论方程的解的个数．

5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数．

(1)若为奇函数，求实数的值；

(2)已知仅有两个零点，证明：函数仅有一个零点．

题型02利用最值（极值）研究函数零点（方程的根）问题

1．（2023上·北京·高三北京四中校考期中）已知函数.

(1)当时，求的极值；

(2)当时，求在上的最小值；

(3)若在上存在零点，求的取值范围.

2．（2023上·福建福州·高三校联考期中）已知函数（）.

(1)求在上的最大值；

(2)若函数恰有三个零点，求a的取值范围.

3．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若在上存2个零点，求的取值范围.

4．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数.

(1)若函数在上单调递增，求的最小值；

(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．

5．（2023下·辽宁·高二校联考期末）已知函数，，其中，若.

(1)当时，求的单调区间；

(2)曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.

6．（2023下·广东东莞·高二统考期末）已知函数．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)若是的极值点，且方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围．

题型03利用数形结合法研究函数的零点（方程的根）问题

1．（2023上·重庆涪陵·高三重庆市涪陵高级中学校校考开学考试）已知函数.

(1)若函数在上单调递增，求的最小值；

(2)若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围．

2．（2023上·云南·高三校联考阶段练习）已知．

(1)当时，求在上的单调性；

(2)若，令，讨论方程的解的个数．

3．（2023下·湖南衡阳·高二校考阶段练习）已知函数，其中．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若方程有三个根，求的取值范围．

?

4．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）已知函数.

(1)求的极值：

(2)若有两个零点，求a的取值范围.

5．（2023上·北京·高三北京二十中校考阶段练习）已知函数，函数，

(1)已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；

(2)若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.

6．（2023·四川·校联考一模）已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)令（a为常数），若有两个零点，求实数a的取值范围.

题型04构造函数研究函数零点（方程的根）问题

1．（2023·全国·模拟预测）已知函数．

(1)讨论函数的单调性．

(2)若关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围．

2．（2023上·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数.

(1)讨论函数的零点个数；

(2)已知函数，当时，关于的方程有两个实根，求证：.（注：是自然对数的底数）

3．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知.

(1)当时，求函数的极值；

(2)当时，设.若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围.

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第07讲拓展三：利用导数研究函数的零点（方程的根）

一、知识点归纳

1、函数的零点

（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．

（2）三个等价关系

方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．

2、函数零点的判定

如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．

注意：单调性+存在零点=唯一零点

二、题型精讲

题型01判断、证明或讨论函数零点（方程的根）的个数

1．（2022上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数.

(1)