(人教A版数学必修二)2025秋季学期讲义第05讲6.2.4向量的数量积(学生版+解析).docxVIP

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第05讲6.2.4向量的数量积

课程标准

学习目标

①了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功。

②掌握向量数量积的定义及投影向量。

③会计算平面向量的数量积。

④会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明。

1.通过阅读课本在向量前面知识学习的基础上进一步了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功；

2.理解和掌握向量数量积的定义与投影向量的概念与意义；

3.在认真学习的基础上，深刻掌握平面向量数量积的意义，为后续学习空间向量数量积打好基础；

4.平面向量是数量积运算是平面向量运算的核心，对于提升数学运算能力，和逻辑推理能力有着十分重要的作用；

5.熟练运用会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明，以及实际应用有着十分重要的作用.

知识点01：平面向量数列积的物理背景

如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功.

其中是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.

从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量.

知识点02：向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角.

(2)向量的夹角范围.

(3)特殊情况：

①，与同向；

②，与垂直，记作；

③，与反向.

【即学即练1】（2023下·甘肃兰州·高一统考期末）等边三角形中，与的夹角为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：延长到，则为与的夹角，所以，与的夹角为．

??

故选：C．

知识点03：平面向量数量积的概念

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积).

记作：，即.

规定：零向量与任一向量的数量积为0

特别提醒:

（1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”；

(2)数量积的结果为数量,不再是向量；

(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零.

【即学即练2】（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）在中，，，则.

【答案】

【详解】根据题意易得为等腰直角三角形，

,

则，

故答案为：

（2）投影

如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.

特别提醒:

①为向量在上的投影的数量；

②为向量在上的投影的数量；

③投影的数量（）是一个值，不是向量.

【即学即练3】（2023下·甘肃天水·高一天水市第一中学校考阶段练习）已知，，且，则向量在向量上的投影数量为.

【答案】

【详解】因为，所以，

又因为，，所以，

所以向量在向量上的投影数量为，

故答案为：.

知识点4：平面向量数量积的性质

设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则

①.?

②.

③当与同向时,；

④当与反向时,；

⑤或；

⑥；

⑦.

知识点5：向量数量积的运算律

①交换律：

②对数乘的结合律：

③分配律：

④

⑤

题型01平面向量数量积有关的定义及辨析

【典例1】（2022上·河北邯郸·高二校考期中）若均为非零向量，则是与共线的（????）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

【典例2】（多选）（2023上·四川成都·高二成都七中校考期中）下列说法正确的是（????）

A．对任意向量，都有

B．若且，则

C．对任意向量，都有

D．对任意向量，都有

【变式1】（2023下·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考阶段练习）已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的（????）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式2】（多选）（2023下·四川乐山·高一期末）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（????）

A． B．

C．若，，则 D．，则

题型02平面向量数量积的几何意义

【典例1】（2022下·河南南阳·高一校考阶段练习）已知是边长为2的正三角形，则向量在上的投影数量是．

【典例2】（2023·山西·校考模拟预测）美术课对于陶冶人的情操?发展学生的艺术兴趣和爱好?培养学生的艺术特长?提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（????）

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