(人教A版数学必修二)2025秋季学期讲义第07讲6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示+6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示+6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示(学生版+解析).docxVIP

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第07讲6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示

课程标准

学习目标

①借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。

②掌握两个向量加、减运算的坐标表示。

③掌握平面向量数乘运算的坐标表示。

④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

⑤能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。

1.在理解的基础上，灵活掌握两个向量加、减运算的坐标表示，加强数学抽象能力的培养；

2.熟练运用掌握向量的运算性质，提升对平面向量共线的坐标表示的理解与掌握，提升数学核心素养；

3.会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线的判断.；

知识点01：平面向量的正交分解

（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

（2）在不共线的两个向量中,垂直是一种特殊的情形,向量的正交分解是向量分解常用且重要的一种分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,会给问题的研究带来方便.

知识点02：平面向量的坐标表示

（1）向量的坐标表示

在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个不共线单位向量、作为基底，

对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数，使得，则把有序数对，叫做向量的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，

注意：①对于，有且仅有一对实数与之对应

②两向量相等时，坐标一样

③，，

④从原点引出的向量的坐标就是点的坐标

【即学即练1】（2023下·高一课时练习）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（????）

??

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【分析】由平面向量基本定理得到，，从而求出两向量的坐标.

【详解】根据平面直角坐标系，可知，，

∴，.

故选：C.

（2）点的坐标与向量的坐标的关系

区别：①表示形式不同向量中间用等号连接，而点中间没有等号

②意义不同点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置，的坐标既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点或向量.

联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.

知识点03：平面向量的坐标表示

（1）两个向量和（差）的坐标表示

两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.

坐标表示：，则：

；

【即学即练2】（2023上·北京海淀·高二校考阶段练习）已知平面向量，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量坐标化的加法运算即可得到答案.

【详解】，

故选：C.

（2）任一向量的坐标

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

，，则.

（3）向量数乘的坐标表示

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.

坐标表示:,则.

【即学即练3】2023上·浙江·高二校联考期中）已知向量，，若，则实数m的值是（?????）

A． B． C．1 D．4

【答案】B

【分析】利用向量的坐标运算求解即可.

【详解】因为向量，，且

所以，

所以，解得：，所以.

故选：B.

知识点04：平面向量共线的坐标表示

设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得；

用坐标表示,可写为,即：

消去得到：.

这就是说,向量()共线的充要条件是.

【即学即练4】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知向量，，，若，则（????）

A．3 B．-1 C．2 D．4

【答案】D

【分析】运用共线向量的坐标表达式即得.

【详解】由，，又由，可得：，解得.

故选：A.

题型01平面向量的正交分解及坐标表示

【典例1】（2023·广西·校联考模拟预测）已知和是两个正交单位向量，，且，则（????）

A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则.

??

【典例3】（2023·高一课时练习）设，是x，y轴正方向上的单位向量，，，则向量，的夹角为．

【变式1】（2023·全国·高一课堂例题）设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标．

【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．

??

【变式3】（2022·山东·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，则点的坐标是（????）

A． B． C． D．

题型02平面向量的坐标运算

【典例1】（2023上·山西·高二统考学业考试）若向量，，则．

【典例2】（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）若，求

【变