最优化理论与方法概述.pptVIP

定义3极点（顶点）：设D是凸集,若D中的点x不能成为D中任何线段上的内点，则称x为凸集D的极点。设D为凸集，X∈D,若X不能用X(1)∈D,X(2)∈D两点的一个凸组合表示为X=αX(1)+(1-α)X(2),其中0α1，则称X为D的一个极点。定义2.凸组合：设X(1)，X(2)，…，X(k)是n维欧式空间中的k个点，若存在μ1,μ2,…,μk满足0≤μi≤1,(i=1,2,…,k),使X=μ1X(1)+μ2X(2)+…μkX(k)，则称X为X(1)，X(2)，…，X(k)的凸组合。第30页，共45页，星期日，2025年，2月5日多边形的顶点是凸集的极点（顶点）。圆周上的点都是凸集的极点（顶点）。第31页，共45页，星期日，2025年，2月5日定义4设D为R中非空凸集，若对，∈D，∈(0,1)恒有n)1(x)2(xaf[+(1-)]≤+(1-)f(*))1(xa)2(xa)()1(xfaa)()2(x则称为D上的凸函数；进一步，若≠时，(*)式仅〝〞成立,则称为D上严格凸函数。)(xf)1(x)2(x)(xf对凸的一元函数的几何意义为：在曲线上任取两点P1(x1,),P2(x2,)弦位于弧之上（见图）。)(xf)(1xf(x2)f21PP21PPx1x2x(x,y)p1p2)(xf第32页，共45页，星期日，2025年，2月5日第1页，共45页，星期日，2025年，2月5日1.最优化问题最优化问题：求一个一元函数或多元函数的极值。在微积分中，我们曾经接触过一些比较简单的极值问题。下面通过具体例子来看看什么是最优化问题。第2页，共45页，星期日，2025年，2月5日1.1最优化问题的例子例1对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？解：设剪去的正方形边长为x，由题意易知，此问题的数学模型为， 第3页，共45页，星期日，2025年，2月5日配料每磅配料中的营养含量钙蛋白质纤维每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.3800.000.000.0010.090.020.0020.500.080.01640.04630.1250例2.（混合饲料配合）设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分如下表所示。试以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。第4页，共45页，星期日，2025年，2月5日解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:设是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。第5页，共45页，星期日，2025年，2月5日1.2最优化问题的数学模型一般形式向量形式其中第6页，共45页，星期日，2025年，2月5日目标函数不等式约束等式约束称满足所有约束条件的向量为可行解，或可行点，全体可行点的集合称为可行集，记为。若是连续函数，则是闭集。第7页，共45页，星期日，2025年，2月5日在可行集中找一点，使目标函数在该点取最小值，即满足：的过程即为最优化的求解过程。