数值传热学第四章数值计算.pptVIP

③.第三类边界条件已知h、tfB点方程形式同上式中：至此，已构成对所有未知温度的足够数量的方程第31页，共73页，星期日，2025年，2月5日§4.2-7线性代数方程的求解1.求解方法线性代数方程组的解法通常有迭代法和直接解法两种。由于一维导热数值求解的离散方程中，待求温度仅与左右两个节点的温度有关，这样形成的代数方程组的系数矩阵将是三对角矩阵，采用追赶法（TDMA）.2.TDMA算法要点TDMA是一种简单、方便、高效率的计算方法，求解过程包括消去变量求系数的正过程和回代求温度场的逆过程。第32页，共73页，星期日，2025年，2月5日正过程：消元的目的是将每个包含三个待求变量的方程，消去一个变量，使之成为两个待求变量的方程，继而把所有这些两个变量的方程新系数值计算出来，直到边界上原来只有两个待求变量的方程，经消元后变成了单变量方程，并能直接求出边界变量值为止。回代过程：由已知的边界变量值逐一按次序回代到已求出系数的二变量方程中便可求出全部待求变量。经过消元与回代便完成TDMA的全过程。第33页，共73页，星期日，2025年，2月5日TDMA算法的数学表述21Nii+1i-13i节点的离散方程可写为：考虑到边界节点的特殊形式：如果T1已知，则有：这些条件意味着T1是T2的函数，而T2与T1、T3，T2?T3。这一代入过程可一直继续到TN?TN+1的关系式。由于TN+1并不存在，所以到此实际上也就得到了TN的值。由此可以回代了，由TN?TN-1?TN-2…?T2?T1。第34页，共73页，星期日，2025年，2月5日3.TDMA的数学推演假设在代入过程得到：①试图找到一个关系：②将①代入离散方程的一般表达式中，将Ti-1用Ti代即可③第35页，共73页，星期日，2025年，2月5日对比③与②即可得到Pi、Qi的递推公式：特例：求得TN后，可以回代了！！②③第36页，共73页，星期日，2025年，2月5日4.TDMA的计算机程序说明①.由P1、Q1的表达式计算出P1、Q1的值；②.由P、Q的递推式计算得出P2、Q2；Pi、Qi….QN③.令TN=QN④.对N-1,N-2,……3，2，1应用回代式可求得TN-1、TN-2……T3、T2、T1。只要代数方程可以表达成的形式，三对角矩阵的算法就是一个非常有效而又方便的求解方法。TDMA法需要的计算机贮存量及计算时间与N成正比，而非N2或N3。它是一种直接解法。第37页，共73页，星期日，2025年，2月5日§4.3非稳态一维热传导通用控制方程中的扩散项和源项的数值处理已经解决，下面讨论非稳态项的处理(暂不考虑源项)。1.一维非稳态无源项的热传导方程任务：因为时间是一个单向坐标，即由一已知的初始温度开始，沿时间坐标逐步向前求解。故计算任务是已知?时刻T在网格上的值，求得?+??时刻T在相应网格点上的值。§4.3-1通用的离散化方程第38页，共73页，星期日，2025年，2月5日2.对整个控制容积积分上述微分方程WwPeEx?x(?x)w(?x)e需要给出一个关于TP、TE和TW如何随时间变化的关系的假设，可以采取的假设有好几种。第39页，共73页，星期日，2025年，2月5日一些假设可归纳为一般化的式子：由此原积分整理为：第40页，共73页，星期日，2025年，2月5日经整理得：（将上标1去掉）式中：第41页，共73页，星期日，2025年，2月5日§4.3-2显式、克兰克-尼科尔森模式以及全隐式模式上节离散方程中，对应特定的f值，可得到不同的格式。f=0?显式；f=0.5?克兰克-尼克尔森模式(C-N)；f=1?全隐式。1.显式格式f=0方程变为：第42页，共73页，星期日，2025年，2月5日??+??显式格式全隐格式C-N格式TPTP~?的变化曲线见右图，实质上是假设上一时刻代表除了时刻?+??之外的整个时间间隔上的值。TP与其它未知量(TE、