证明相似三角形的基本思路.pptxVIP

证明三角形相似的进本思路

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

两角分别相等的两个三角形相似。

三边成比例的两个三角形相似。

三角形相似的判定方法

相似三角形的基本图形

一、平行线型

如图所示，当DE∥BC时，都有△ABC∽△ADE，这是相似三角形中两种最常见的“基本图形”，左图是一种“A型”图，即公共角的对边平行；右图是一种“X型”图，即对顶角的对边平行．平行线型的基本图形通常用来判断相似三角形的对数，或由其产生相似比求线段的长．

相似三角形的基本图形

二、相交线型

我们常把图1、图2和图3称为相交线型，它们的公共角或对顶角的对边不平行．一般地，如图1，若∠D＝∠B或∠E＝∠C，则△ADE∽△ABC；如图2，若∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C，则△ADE∽△ABC；如图3，若∠B＝∠D或∠ACB＝∠AED，则△ABC∽△ADE.

相似三角形的基本图形

三、母子型

我们常把左图和右图称为母子型或共边共角型，如左图，若∠ACE＝∠B或∠AEC＝∠ACB，则△ABC∽△ACE；如右图，若∠ACB＝90°且CE⊥AB于点E，则△ABC∽△ACE.

例1.已知:如图,ΔABC中,­CE⊥AB,BF⊥AC.

求证:

例2.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，

∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，

AC·AE=AF·AB吗？说明理由。

“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

例3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，

E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F．

求证：

等比过渡法（等比代换法）

当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似；

不相似，不用急：等线等比来代替。”

等积过渡法（等积代换法）

思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。

例4.如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，

G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．

求证：CD2＝DF·DG．