高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章对数的运算教学设计.docx

4.3.2对数的运算

课程：高中数学

教材：高中数学人教A版（2019）必修第一册

章节：4.3.2对数的运算

教材分析

本节课通过指数与对数之间的关系，推导出对数的运算性质，并引入换底公式，使学生掌握对数运算的基本规则及其实际应用。教学过程从具体例子出发，引导学生归纳出对数的三条运算性质，并通过设未知数、利用对数性质推导换底公式。本节内容承接了前面对数概念的引入，是对对数运算体系的完善，也为后续学习对数函数及其性质打下基础。通过对对数运算的学习，学生能够提升代数变形和逻辑推理能力，同时为解决实际问题（如增长率问题）和后续函数内容的学习提供了工具支持。

学情分析

学生在之前已经学习了指数运算、指数函数的基本性质以及对数的定义，掌握了指数与对数之间的互化关系，具备了一定的代数运算能力和逻辑推理能力；进入高中高年级阶段，学生的抽象思维能力有所提升，但对于对数运算性质的推导过程和换底公式的理解仍存在一定的抽象性和逻辑复杂性，容易在符号运算和公式变形中出现理解偏差；本节课要求学生能够理解并掌握对数的三条基本运算性质及换底公式的推导与应用，通过类比指数运算性质，提升逻辑推理能力和数学符号运用能力，同时为后续学习对数函数及其应用打下坚实基础。

教学目标

理解对数运算的基本性质，能够推导出log?

掌握对数换底公式的推导过程，能够运用换底公式计算不同底数的对数，如计算log?

能够将对数运算性质应用于实际问题中，如计算景区游客人次增长所需年数，达到数学建模核心素养水平一的要求。

理解对数运算与指数运算的互逆关系，能够在两者之间进行灵活转换，达到数学抽象核心素养水平二的要求。

重点难点

教学重点：对数运算性质的推导与应用，换底公式的理解及实际问题中的运用。

教学难点：对数运算性质的证明逻辑，换底公式推导过程中变量与底数的关系处理。

课堂导入

同学们，我们先来看一个有趣的问题。假设你有一笔钱，打算进行投资，年利率为10%，按复利计算，要使本金翻倍需要多少年呢？这就需要我们用对数来解决，设需要(x)年，可得((1+0.1)^x=2)，即(x=\log_{1.1}2)。我们知道对数是指数的逆运算，那对数之间的运算有没有像指数运算那样的规则呢？比如指数有(a^m\timesa^n=a^{m+n})，那对数对于两个数乘积的对数(\log_a(MN))，是否也有类似简单的运算规律？带着这样的疑问，今天我们就一起来探究对数的运算。

对数的运算

探究新知

（一）知识精讲

在学习了对数的概念之后，我们自然要研究对数的运算性质。我们知道，对数与指数之间存在密切的关系，因此可以借助指数的运算性质来推导对数的运算性质。

设M=am，

a

因此，

MN=

再根据对数与指数之间的关系，可以得到：

log

于是，

log

这样我们就得到了对数的一个基本运算性质：

log

类似地，由指数的除法法则：

a

可得：

M

从而有：

log

即：

log

再由指数的幂的运算法则：

(

若令M=am，则

log

即：

log

综上所述，我们得到以下对数的运算性质：

如果a0，且a≠1，M0，

log?

log?

log?aM

这些性质为我们后续研究对数函数的性质和应用提供了基础。

（二）师生互动

教师提问1：我们已经知道指数运算有三个基本性质，分别是乘法、除法和幂的运算，那么对数运算是否也有类似的性质呢？

学生回答：应该也有类似的性质，因为对数和指数是互为反函数的关系。

教师提问2：如果已知log?aM=m，log?a

学生回答：根据指数的乘法法则，MN=am+n，所以

教师提问3：如果我们要计算log?

学生回答：可以，因为MN=am?n

教师提问4：对于log?

学生回答：是的，因为Mn=(am

（三）设计意图

通过对对数运算性质的推导与归纳，帮助学生理解对数与指数之间的内在联系，掌握对数的基本运算规则。通过引导学生从指数的运算性质出发，自主推导对数的运算性质，培养学生的逻辑推理能力和数学抽象能力。在师生互动中，通过层层递进的问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣，促进学生主动建构知识。同时，强调对数运算性质的推导过程，有助于学生形成严谨的数学思维习惯，理解数学知识的系统性和逻辑性，为后续学习对数函数及其应用打下坚实基础。

新知应用

例3题目：

求下列各式的值:

(1)lg5100；

(2)

解答：

(1)

我们先将根号转化为指数形式：

5

因此：

lg

根据对数的幂的性质：log?a

=

又因为lg100=log

=

(2)

我们先利用对数的乘法性质：log?a

log

再分别应用幂的对数性质：

=7

注意到：

log

代入得：

=7×2+5×1=14+5=19

总结：

1.题目考查内容

①对数的幂的运算