人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式课时 学案.docxVIP

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

第1课时不等关系与比较大小

新课导入

“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，形象地展现了庐山的雄奇壮丽，生活中这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等关系.

学习目标

1.通过具体情境，体会在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．

2.了解不等式（组）的实际背景．

3.初步会用作差法比较两个数或代数式的大小．

新知学习探究

一不等关系与不等式

在日常生活中，我们经常看到下列标志：

思考1．其含义分别是什么？

思考2．能用不等式表示上述关系吗？

【答案】思考1提示:题图1装载高度?不得超过3.5m;题图2限制行驶速度v不得低于50km/h;题图3装载总质量m不得超过

思考2提示:题图1：0＜?≤3.5;题图2：

［知识梳理］

1.不等式关系

用数学符号“≠”“”“”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.

2.常见的文字语言与符号语言之间的转换

文字语言

大于，高于，超过

小于，低于，少于

大于等于，至少，不低于

小于等于，至多，不超过

符号语言

≥

≤

［例1］某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）.

【解】设购买A型汽车x辆，B型汽车y辆，

根据题意可得40x+

用不等式（组）表示不等式关系的步骤

（1）审清题意，明确表示不等关系的关键词语.

（2）适当的设未知数表示变量.

（3）用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式（组）.

［跟踪训练1］．一个盒子中红、白、黑三种球的数量分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13

解：由黑球个数至少是白球个数的一半，且至多是红球个数的13，所以y

又因为白球与黑球的个数之和至少为55，所以y+

故满足题意的不等关系为y2

二实数（式）的大小比较

思考．我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？

提示设a，b是两个不相等的实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B，

那么当点A在点B的左边时，ab；当点A在点B的右边时，

［知识梳理］

基本事实

文字表示

符号表示

如果a?b是正数，那么①_______

a?b0?②______

如果a?b等于0，那么③_______

a?b=0?④______

如果a?b是负数，那么⑤_______

a?b0?⑥____

【答案】ab；ab；a=b

［

例2］（对接教材例1）

（1）比较2x2?

（2）已知a，b都是正实数，比较a2b+

【答案】

（1）【解】(2

故2x

（2）a

=a

因为a0，b0，故

当a=b时，

即a2

当a≠b时，

即a2

作差法比较大小的步骤

注意上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断差与0的大小”是目的，“变形”是关键.变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.

［跟踪训练2］．

（1）已知x∈R，设M=(x+8)(

（2）设m≠n，x=m4?m

【答案】

（1）解：因为M?

=(x

所以M

（2）解：x?

因为m≠n，所以

又因为m2

当且仅当m+

即m=n

又m≠n，所以

所以x?y

三重要不等式

如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，将其抽象成如图2的形式.设直角三角形的两条直角边的长为a，b(a≠

思考1．根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关系？

思考2．当中间的四边形EFGH缩为一点，即四个直角三角形变为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？

【答案】思考1提示：正方形ABCD的面积a2

思考2提示：a2

［知识梳理］

一般地，?a,b∈R，有a2+b2①____2ab,当且仅当②___

【答案】≥；a

［例3］已知a0，求证：

【证明】方法一：利用a2+b

所以a+1a=(

方法二：因为a+1a

在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质.

［跟踪训练3］．已知x+y+

证明：因为x2+y2≥2xy，x2

即3(

因为x+y+

所以3(x2+y2

课堂巩固自测

1．若a=(x+

A.ab

C.a≥b D.a,

【答案】B

【解析】选B.b

=x

所以a

2．（多选）下列说法正确的是（）

A.某人月收入x（单位：元）不高于2000元可表示为“x

B.小明的体重为xkg，小华的体重为ykg，则小明比小华重表示为“

C.某变量x