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上海南汇中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是．

2．若，且为第二象限角，则的值为.

3．已知，，，则．

4．化简：．

5．已知向量与不平行，与平行，则实数．

6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆交于第三象限内的点，则．

7．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状为．

8．已知函数的最小正周期为，将图像向左平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则．

9．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．

10．设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为．

11．定义，若函数，给出下列四个命题：

①该函数是周期函数，且最小正周期是；

②该函数的值域是；

③该函数是偶函数；

④对任意，恒成立.

上述命题中错误的序号是．

12．在中，若，则的最大值是．

二、单选题

13．（）是的（????）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分又非必要

14．在中，点在边上，且，设，，则

A． B． C． D．

15．已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（?????）

A． B．

C．或 D．或

16．我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于x轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于、两点，且．已知命题：①；②函数在上有4051个零点，则以下判断正确的是（?????）

A．①和②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题

C．①为假命题，②为真命题 D．①和②均为假命题

三、解答题

17．已知

(1)求与的夹角大小；

(2)求在上的数量投影.

18．已知都是锐角，且，，

(1)求的值；

(2)求的值.

19．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰，已知扇形的半径为米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．

(1)当米时，求分隔栏的长；

(2)若要求白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值并求出此时的大小.

20．已知函数的图象，如图所示：

??

(1)求的解析式；

(2)若在上是严格增函数，求实数的最大值.

(3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有个最大值，求实数的取值范围.

21．对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．

(1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围；

(2)若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件；

(3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由．

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《上海南汇中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

A

B

C

B

1．

【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解.

【详解】依题意，设扇形的圆心角为，

因为扇形的半径是，弧长为，

所以由，得，则.

故答案为：.

2．

【解析】根据同角三角函数的基本关系式首先求得的值，进而求得的值.

【详解】由于，且为第二象限角，所以，所以.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式求值，属于基础题.

3．

【分析】利用结合已知条件求解即可.

【详解】因为，，，

所以

.

故答案为：

4．

【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的关系化简即可.

【详解】

.

故答案为：

5．/

【分析】根据向量平行可列出方程组，即可求解.

【详解】由于与平行，故设，

即，而向量与不平行，

故，解得，

故答案为：

6．/

【分析】由条件求，再根据三角函数定义求，，根据二倍角正弦公式求结论.

【详解】因为角的终边与单位圆交于第三