数学史第讲微积分发展史.pptVIP

四、微积分的发展与完善1．函数概念的发展解析几何出现以后，有了变量，这为函数概念的产生与发展提供了条件，而自然科学的发展需要人们研究函数。微积分产生之后，函数的研究就成为必然，初等函数已经被充分认识。牛顿用“流量”一词表示变量之间的关系，莱布尼兹用“函数”一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量。1734年，欧拉使用记号表示函数。这个时期的函数概念，是由解析表达式（有限或无限的）所给出，是运算的组合，函数要与曲线联系起来。第31页，共46页，星期日，2025年，2月5日1807年，傅里叶由于研究热的传导问题，发现了不能用单个（有限的）解析式表达的函数，如，他的这一发现是函数概念发展的一个转折点。虽然欧拉等人也有类似傅里叶的思想，但只是在傅里叶对热传导深入研究引起人们注意时，他关于函数的这个发现才对人们有所震动。第32页，共46页，星期日，2025年，2月5日1821年，柯西在他关于分析学的著作中给出函数一个新的定义：若干个有联系的变量之间，当给定了其中一个变量的值，就可以决定所有其它变量的值。该定义基本上摆脱了“解析表达式”的要求，侧重于关于变量间关系的认识，但仍未揭示出变量之间的对应关系这一函数概念的本质。更进一步的定义是德国数学家狄利克雷在1837年给出的：如果对于给定区间的每一个的值，有唯一的一个的值与之对应，那么就是的一个函数。他还举出一个著名函数的例子，以说明函数概念的一般性，这就是“狄利克雷函数”：当是有理数时，取值1；当是无理数时，取值0。这个函数是不可能写出任何解析表达式来的。第33页，共46页，星期日，2025年，2月5日第1页，共46页，星期日，2025年，2月5日微积分学是微分学(DifferentialCalculs)和积分学(IntegralCalculs)统称,英文简称Calculs,意为计算。这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学或无穷小分析。微积分中的基本概念主要是函数、极限、连续、导数、积分等，其中极限是微积分的基石。???微分学的主要内容包括：导数、微分。???积分学的主要内容包括：定积分、不定积分。第2页，共46页，星期日，2025年，2月5日一．?微积分思想萌芽?????微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子?天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限思想。第3页，共46页，星期日，2025年，2月5日把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元。刘徽首先考虑圆内接正六边形面积?，接着是正十二边形面积?，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。用他的话说，就是：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率?的近似值3.14。第4页，共46页，星期日，2025年，2月5日南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖?恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率?介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异。”我们称之为“祖氏原理”，即西方所谓的“卡瓦列利原理”。并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。?

第5页，共46页，星期日，2025年，2月5日欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的“穷竭法”。他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。但他的方法并没有被数学家们所接受。后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法。他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较。但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形。?第6页，共46页，星期日，2