[教学设计]初中数学 九年级上册 第二十一章 21.1 一元二次方程.docxVIP

人教版初中数学九年级上册

人教版初中数学九年级上册

21.1一元二次方程

教学目标

教学目标

1．理解一元二次方程及一元二次方程的根的概念．

2．掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数和常数项．

教学重点

教学重点

由实际问题列出一元二次方程，得出一元二次方程的概念．

教学难点

教学难点

对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定．

教学过程

教学过程

新课导入

在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？

让我们画出图形，解决这个问题．

如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系：

AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC．

设雕像下部高xm，可得方程x2＝2(2－x)，整理得

x2＋2x－4＝0．

这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2．

本节课，我们将针对这个方程展开学习．

【设计意图】利用人体雕像的分割问题，建立数学模型，得到一个一元二次方程，为新知识的学习进行铺垫．

新知探究

一、探究学习

【问题】1．如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？（只列方程）

【师生活动】教师引导学生对所给图形进行分析，合理设未知数、列方程．

【答案】解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm．根据方盒的底面积为3600cm2，得

(100－2x)(50－2x)＝3600．

整理，得4x2－300x＋1400＝0．

化简，得x2－75x＋350＝0．

【问题】2．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（只列方程）

【师生活动】学生以小组为单位，对题目中所给的数量关系进行分析，指名学生代表口述分析过程，教师进行点评．

【分析】全部比赛的场数为4×7＝28．

设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共x(x－1)场．

【答案】解：设应邀请x个队参赛．

列方程为x(x－1)＝28．

整理，得x2－x＝28．

化简，得x2－x＝56．

【设计意图】通过安排两个实际问题，得出一元二次方程的具体实例，为后面新知识的学习进行铺垫．

【问题】在x2－75x＋350＝0，x2－x＝56这两个方程中，未知数的个数和最高次数各是多少？

【师生活动】引导学生观察两个方程，得出答案．

【答案】这两个方程中，未知数的个数都是1，未知数的最高次数都是2．

【思考】观察下列三个方程，找到它们的共同点：

x2＋2x－4＝0，x2－75x＋350＝0，x2－x＝56．

1．方程两边都是________；

2．只含有_______个未知数；

3．未知数的最高次数是______．

【师生活动】引导学生观察三个方程，发现它们在形式上的共同点．

【答案】整式一2

【设计意图】此处通过观察三个方程，有助于学生抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示（一元二次方程的一般形式）．

二、新知精讲

【新知】等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

一元二次方程的各项及其系数：

【问题】在一元二次方程的一般形式中，为什么规定a≠0？

【师生活动】引导学生探究在a＝0的时候出现什么情况．

【答案】当a＝0时，方程没有二次项．

【设计意图】使学生明白，在一元二次方程中，a，b，c可以用来表示具体的常数，它们可以取不同的数值；但要保证一元二次方程成立，需要二次项系数不为0．

【新知】使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

三、典例精讲

【例1】下列方程中，哪些是一元二次方程？

（1）x2＝4； （2）y2－3y＋1＝0；

（3）(y－1)2＝y2＋2； （4）x2－2y＋1＝0．

【师生活动】学生组内讨论，解答本题，教师提问．

【答案】解：（1）整理，得x2－4＝0，是一元二次方程；

（2）是一元二次方程；

（3）整理，得2y＋1＝0，未知数的最高次数是1，所以不是一元二次方程，是