3-1矩阵的初等变换.pptVIP

(1)对调单位阵的第i,j行（列），记作E5(3,5)记作Em(i,j)．(2)以常数k≠0乘单位阵第i行（列），记作E5(3(k))记作Em(i(k))．(3)以k乘单位阵第j行加到第i行,记作E5(35(k))记作Em(ij(k))．以k乘单位阵第i列加到第j列．?两种理解！结论把矩阵A的第i行与第j行对调，即把矩阵A的第i列与第j列对调，即以非零常数k乘矩阵A的第i行，即以非零常数k乘矩阵A的第i列，即把矩阵A第j行的k倍加到第i行，即把矩阵A第i列的k倍加到第j列，即性质1设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.口诀：左行右列.初等变换初等变换的逆变换初等矩阵?初等矩阵可逆吗？其逆矩阵还是初等矩阵吗?推论：对于n阶方阵A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵。（P40）所以．一般地，．因为“对于n阶方阵A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以．一般地，．?因为“对于n阶方阵A、B，如果AB=E，那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵”，所以．一般地，．?初等变换初等变换的逆变换初等矩阵初等矩阵的逆矩阵初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵仍然是初等矩阵：?性质2：n阶方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使A=P1P2…,Pl．（充分性显然，只证必要性）初等矩阵都是可逆的，其逆阵仍是初等矩阵口诀：左行右列.回忆：性质1设A与B都是m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；（iii）矩阵与等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B.性质1设A与B都是m×n矩阵，对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.以下同理可证明P61定理1(ii)有限次行或列初等变换回忆定义：称矩阵A与矩阵B等价，记作同理可证书上P61定理1（ⅲ）定理1矩阵与等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B.任何一个可逆矩阵都可以分解成有限个初等矩阵的乘积，任何一个可逆矩阵的标准形矩阵是单位矩阵E，可逆矩阵的行最简形矩阵是单位矩阵E.任何一个可逆矩阵都和同阶的单位矩阵E等价。另一种说法：可逆矩阵可以只通过初等行变换化成单位矩阵E。推论：方阵A可逆的充要条件是再议性质2：n阶方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵，使或者说，可逆矩阵可以只通过初等列变换化成单位阵E.（书上P63）四、初等变换的应用（求逆阵、解矩阵方程）解例１课堂练习：用初等变换求3阶方阵的逆矩阵.解：|A|=1，即初等行变换例2解列变换推广1：若方程为列变换即方程两边右乘作业习题3(77页)1(3);4(1);6(3)第三章矩阵的初等变换

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线性方程组§1矩阵的初等变换一、初等变换的概念