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人教版初中数学九年级上册
人教版初中数学九年级上册
22.1二次函数的图象和性质(第2课时)
教学目标
教学目标
1.能够利用描点法画形如y=ax2(a≠0)的二次函数图象.
2.通过观察图象能够说出二次函数y=ax2(a≠0)的图象特征和性质.
3.在由具体的二次函数图象归纳总结二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质的过程中,进一步体会由特殊到一般和数形结合的思想.
教学重点
教学重点
会用描点法画具体的形如y=ax2(a≠0)的二次函数图象,并由具体图象归纳总结出二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质.
教学难点
教学难点
通过对a的取值分类讨论,总结出二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质,特别是|a|的大小对抛物线开口大小的影响.
教学过程
教学过程
知识回顾
1.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.
2.画出一次函数y=x+1的图象.
【答案】(1)列表:
x
0
2
y=x+1
1
3
(2)描点、连线.
3.一次函数的图象是一条直线,当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.
【设计意图】通过复习已经学过的有关函数的知识,为引出“二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质”作铺垫.
新知探究
一、探究学习
【思考】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象又是什么样的呢?
【师生活动】教师提示:结合图象讨论性质是数形结合地研究函数的重要方法.我们将从最简单的二次函数y=x2开始,逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质.
【问题】仿照前面的画法,画出二次函数y=x2的图象.
【师生活动】教师提示:可以用描点法画出二次函数y=x2的图象.
学生根据提示独立思考,并作图.
解:(1)在y=x2中,自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值:
x
···
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
y=x2
···
9
4
1
0
1
4
9
···
(2)描点:根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y).
(3)连线:用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图象.
教师提问:1.观察所画图象,你能说一下它的形状特征吗?
学生分小组讨论,并派代表发言.
教师分析:从图象可以看出,二次函数y=x2的图象是一条曲线,它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线,只是这条曲线开口向上.这条曲线叫做抛物线y=x2.
教师总结:二次函数的图象都是抛物线,它们的开口或者向上或者向下.二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
教师提问:2.在所画出的抛物线y=x2上分别取点(2,4),(3,9),并找到它们关于y轴的对称点,你发现了什么?
学生思考并回答:点(2,4),(3,9)关于y轴的对称点(-2,4),(-3,9)也在抛物线y=x2上.
教师追问:在所画出的抛物线y=x2上任取一点(m,m2),它关于y轴的对称点(-m,m2)也在抛物线y=x2上吗?
学生分小组讨论,并派代表发言.
教师总结:在抛物线y=x2上任取一点(m,m2),因为它关于y轴的对称点(-m,m2)也在抛物线y=x2上,所以抛物线y=x2关于y轴对称.
抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线y=x2的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.
教师提问:3.观察所画出的二次函数y=x2的图象,在对称轴的左右两侧,抛物线有什么特点?
学生思考并回答:在对称轴的左侧,抛物线从左到右下降;在对称轴的右侧,抛物线从左到右上升.
教师总结:二次函数y=x2的图象:当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.
【设计意图】通过提出问题“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象又是什么样的”,激发学生的求知欲,引导学生利用数形结合的方法研究函数的图象和性质.进而让学生利用已学过的描点法画出二次函数y=x2的图象,通过小组交流让学生充分发表意见,总结自己观察出的图象的特征和函数性质,为讨论一般二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质作铺垫.
二、典例精讲
【例题】在同一直角坐标系中,画出函数,y=2x2的图象.
【师生活动】教师提出问题,学生独立思考并作图.
【答案】解:分别列表,再画出它们的图象.
x
···
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
···
···
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
···
x
···
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