第九讲 （理科）数学专页《名师大讲堂》二轮复习资料 理科.docVIP

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第九讲数学高考的创新试题解题指导

第一节需要抽象概括的创新试题

高考数学归纳抽象创新题的命题特点：加强创新意识的考查，有利于实现选拔功能；深化课改，促进能力立意命题的实践和发展.其中新定义信息型创新题是近年高考出现频率最高的创新题之一，因其背景新颖，构思巧妙，能有效甄别考生的思维品质，因而倍受高考命题专家垂青.

题型一定义新概念

【例1】设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意、，都有、，、（除数），则称是一个数域.例如有理数集是数域；数集也是数域.有下列命题：

①整数集是数域； ②若有理数集，则数集必为数域；

③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.

其中正确的命题的序号是（把你认为正确的命题的序号填填上）

点拨：本题定义了新的概念：数域，审题非常关键，解题时可采用排除法，代入特殊的数值对选项进行排除筛选.此题是以高等数学中“群、环、域”的知识考查高中数学中有关知识的问题，体现了高考数学与中学数学的和谐接轨，以高考数学知识为背景的问题，对已有的知识改造、重组创造“新知识”的问题，也成为高考试题的一大亮点.定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能.

解析：对于整数集，当，时，,故①错；对于满足的集合，不是数域，②错；若是数域，则存在且，依定义，，，，,均是中元素，故中有无数元素，③正确；类似数集也是数域，④正确，故选③，④

易错点：审题不清，未能理解数域的定义所应满足的条件.

变式与引申1：定义若平面点集中的任一个点，总存在正实数，使得集合

，称为一个开集．给出下列集合：

①；②；

③；④．

其中是开集的是．（请写出所有符合条件的序号）

题型二定义新数表

【例2】全体正整数排成一个三角形数阵：

1

23

456

78910

1112131415

******

根据以上排列规律，数阵中第（）行的从左向右的第3个数是.

点拨：由数阵找到（）行的最后一个数.

数表其实是数列的一种分拆，不同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中的数阵是对正整数数列的一种重排，只要找出其排列规律便不难求得答案，本题以三角形数表为载体，考查了学生观察、归纳、猜想的思维能力.源于杨辉三角的数表蕴含着丰富的性质，数表型试题在各地高考试卷中屡见不鲜.

解析：该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第行有个数，则第（）行的最后一个数为，则第行的第3个数为.

易错点：未能找到新的数阵的规律，解题无从入手.

变式与引申2：将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

*****

记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．

（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和．

题型三定义新数列

【例3】若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

点拨：本题主要考察等比数列的定义和创新定义的理解、转换.等比数列，则公比应唯一确定.

数列是高考重点考查的内容，围绕数列问题创设情境，设计出一些新颖的题目是近几年高考的一大亮点，如今年上海卷的“对称数列”、09年湖北卷的“等方比数列”、08年江苏卷的“绝对差数列”、07的北京卷的“等和数列”等，各种新数列精彩纷呈，此类试题形式新颖、内容深远、能力要求广泛、解法多样，能够较好地考查考生的学习能力、逻辑思维能力、应用能力和创新能力等.

解析：由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即，则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即即公比不一定为，则命题乙不成立，故选B.

易错点：是由，得到的是两个等比数列，而命题乙是指一个等比数列，忽略等比数列的确定性，容易错选C.

变式与引申3：

对于每项均是正整数的数列