第九讲（理答）数学专页《名师大讲堂》二轮复习资料 理科.docVIP

PAGE

参考答案：

第九讲数学高考的创新试题解题指导（理科）

第一节需要抽象概括的创新试题

变式与引申1：

解析：本题将大学拓扑学的基本概念引入

下面画图，进行判断：

对于①，如图习题9-1.

图习题9-1

显然不存在一个面集点集，该集合不符合题目要求.

对于②，如图习题9-2

图习题9-2

显然存在面集面集，该集合符合题目要求.

对于③,如图习题9-3

图习题9-3

在边界上的，怎么取也难以得到符合题目要求的圆，所以该集合不符合.

对于④，如图习题9-4

图习题9-4

显然存在面集面集，该集合符合题目要求.所以综合上面的分析有答案为②④

变式与引申2：

解析：（Ⅰ）证明：由已知，当时，，

又，

所以，

即，

所以，

又．

所以数列是首项为，公差为的等差数列．

由上可知，

即．

所以当时，．

因此

（Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为，且．

因为，

所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项，

故在表中第31行第三列，

因此．

又，

所以．

记表中第行所有项的和为，

则

变式与引申3：

解析：（Ⅰ）：，：，：；：，

：．

（Ⅱ）设每项均是正整数的有穷数列为，

则为，，，，，

从而

．

又，

所以

，

故．

（Ⅲ）设是每项均为非负整数的数列．

当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，

则．

当存在，使得时，若记数列为，

则．

所以．

从而对于任意给定的数列，由

可知．

又由（Ⅱ）可知，所以．

即对于，要么有，要么有．

因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．

即存在正整数，当时，．

习题9-1

1.C解析：前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以、、，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，所以，则，选C.

2.C解析：①显然存在符合题目要求,所以它是“倍约束函数”;

②当时,,此时不可能存在符合题目要求,所以

不是“倍约束函数”

③此时不可能存在符合题目要求,所以

不是“倍约束函数”

④且经过分析可以确定其图象大致如图习题9-5:

图习题9-5

可以肯定存在符合题目要求,所以

是“倍约束函数”

⑤是奇函数,过原点,所以

不成立

又曲线上的任意两点连线的斜率小于2,故存在符合题目要求.

所以①④⑤均符合题目要求,选择C

3.63，32解析：通过列举、观察、猜测，发现全行都是1的行为1，3，7，15，…，，…，其关键在于列举出前面全行都为1的行有第7，15行，发现后项与前项的差构成一个等比数列，即3-1=2，7-3=4，15-7=8，一＝，累加可得＝一1，故第次全为1的行为第一1行；由上面知第63行全为1，根据“杨辉三角形”的特点，每一个数都是“肩上”两个数的和，逆推可知，第62行的63个数分别为1，0，1，0，1，0，1，…，1，0，1(其中1，0为一个周期，周期为2)；第61行的62个数分别为1，1，0，0，1，1，0，0，…，1，1，0，0，1，1(其中1，1，0，0为一个周期，周期为4)，共有15个周期还余2项，所以第61行中1的个数为152+2=32.

4.解析：(Ⅰ)则；

(Ⅱ)当时，,此时，故①错

的定义域为不关于原点对称②错

显然随着的增大,也增大;所以在定义域上单调递增③对

又由于整个过程是对称的,所以④对，所以经过分析可以得到答案为③④

点评：本题落脚非常新颖,但是其实设题很容易,只要把握住审题加分析(当然分析并没有定势的思维,而是要具体问题具体分析).

5.解析：(Ⅰ)由，得，

所以，，

所以，，则

，

故．

当时，

．

所以，．

又当时，也满足上式，

故．

(Ⅱ)令，则当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；

又因为，

而．

所以，当时，存在最小值，最小值为．

需要构建模式的创新试题

变式与引申1：

解析：本题需要分析和处理问题的能力.

设,∠QOx=

根据函数关系有

即

设该条直线为l，可以知道该直线表示的是截距为20斜率为的直线,其中

又由的几何意义可以知道:

它表示的是(0,1)和(,)直线的斜率，知－10

再结合图取交集后便可以得到答案应该是如图习题9-6所示的弓形

弓形面积：

所以概率为

图习题9-6

变式与引申2：

解析：观察系列化合物分子式的下标易知：C和H的下标分别是公差为4和2的等差数列．由等差数列的通项公式使可得他的通式为由于这个系列化合物中含碳元素、氢元素的个数递增，且原子量分别是12和1，故分