新课标高考总复习数学24第三章第4课时利用导数证明不等式36.pdfVIP

第三章一元函数的导数及其应用

第4课时利用导数证明不等式

第4课时利用导数证明不等式典例精研核心考点课时分层作业

典例精研核心考点

考点一移项构造法证明不等式

x

[典例1](2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(e＋a)－x.

(1)讨论f(x)的单调性；

解：(1)f′(x)＝aex－1，

当a≤0时，f′(x)＜0，

所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；

当a＞0时，f′(x)＞0，得x＞－lna，f′(x)＜0，得x＜－lna，

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所以函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，

在(－lna，＋∞)上单调递增．

综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；

当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)

上单调递增．

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(2)证明：由(1)得当a＞0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－ln

a)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna，

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一般地，待证不等式的两边含有同一个变量时，可以直

接构造“左减右”(或“右减左”)的函数，利用导数研究其单调性

和最值，借助所构造函数的单调性和最值进行证明．

提醒：对复杂的式子可以先进行变形，再移项构造函数进行证明．

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[跟进训练]

22x－22

1．证明：当x∈[0,2]时，xe≥－2x＋8x－5.

22x－222x－22

证明：g(x)＝xe＋2x－8x＋5，x∈[0,2]，则g′(x)＝2e(x＋

x)＋4x－8，x∈[0,2]．

h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝2e2x－2(2x2＋4x＋1)＋40，所以g′(x)在[0,2]

上单调递增，且g′(1)＝0，

所以g(x)在[0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，所以g(x)的最小值

22x－22

为g(1)＝0，所以g(x)≥0，即xe≥－2x＋8x－5.

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考点二隔离分析法证明不等式

(1)a，b；

(2)求证：f(x)1.

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