新课标高考总复习数学23第三章第3课时导数与函数的极值、最值33.pdfVIP

第3课时导数与函数的极值、最值

[考试要求]1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条

件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．

1．函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，

f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0.则a叫做函数y＝

f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，

f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0.则b叫做函数y＝

f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

提醒：①对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x处有极值”的必

00

32

要不充分条件．例如：f(x)＝x，f′(x)＝3x，当x＝0时，f′(x)＝0，但x＝0

000

不是f(x)的极值点；②区分极值与极值点．

2．函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大

值和最小值．

(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是

最大值，最小的一个是最小值．

[常用结论]

1．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．

2．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的极大值不一定比极小值大．(√)

(2)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)

(3)函数的极大值一定是函数的最大值．(×)

(4)函数在某区间上的极大值是唯一的．(×)

二、教材经典衍生

1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)函数f(x)的导函数f′(x)的图象

如图所示，则f(x)的极小值点的个数为()

A．1B．2

C．3D．4

A[由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，f(x)在x

＝－1左减右增，函数f(x)在x＝－1处取得极小值．故选A．]

lnx

2．(人教A版选择性必修第二册P92练习T2改编)已知函数f(x)＝，则f(x)的极

x

大值为()

1

A．－eB．

e

C．1D．0

lnx

B[函数f(x)＝