新课标高考总复习数学25第三章第5课时利用导数解决恒(能)成立问题38.pdfVIP

第三章一元函数的导数及其应用

第5课时利用导数解决恒(能)成立问题

第5课时利用导数解决恒(能)成立问题典例精研·核心考点课时分层作业

典例精研·核心考点

考点一单变量不等式恒成立问题

第5课时利用导数解决恒(能)成立问题典例精研·核心考点课时分层作业

[四字解题]

第5课时利用导数解决恒(能)成立问题典例精研·核心考点课时分层作业

解：法一(函数最值法)：

2

xf(x)＋a≥2－e，即xlnx－ax＋a＋e－2≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立．

令h(x)xlnx－ax＋a＋e－2，

则h′(x)lnx＋1－a.

令h′(x)0，得xea－1.

当x∈(0，ea－1)时，h′(x)0；

当x∈(ea－1，＋∞)时，h′(x)0.

所以h(x)的最小值是h(ea－1)a＋e－2－ea－1.

第5课时利用导数解决恒(能)成立问题典例精研·核心考点课时分层作业

令t(a)a＋e－2－ea－1，则t′(a)1－ea－1.

令t′(a)0，得a1.

当a∈[0,1)时，t′(a)0，t(a)在[0,1)上单调递增；

当a∈(1，＋∞)时，t′(a)0，t(a)在(1，＋∞)上单调递减．

当a∈(1，＋∞)时，h(x)的最小值为t(a)≥t(2)0.

故a∈[0,2]．

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法二(分离参数法)：

原式可变为xlnx＋e－2≥a(x－1)(*)对任意x∈(0，＋∞)恒成立．

当x∈(0,1)时，分离变量可得

令g(x)xlnx，

先求出函数g(x)xlnx的最小值．

求得g′(x)lnx＋1.

当x∈(0，e－1)时，g′(x)0，g(x)单调递减；

当x∈(e－1，＋∞)时，g′(x)0，g(x)单调递增．

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所以g(x)ming(e－1)＝－e－1.

因为(xlnx)min＝－e－1，

所以xlnx＋e－2≥－e－1＋e－20.

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当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0，

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所以h(x)单调递增．

当x∈(1，e)时，t′(x)0，t(x)单调递减；

当x∈(e，＋∞)时，t′(x)0，t(x)单调递增．

所以a≤t(x)mint(e)2，故a∈[0,2]．

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法三(数形结合法)：

通过变形原不等式等价于证明：xlnx≥a(x－1)＋(2－e)，x∈(0，

＋∞)．

若令g(x)xlnx和h(x)a(x－1)＋(2－e)，

则只需证明函数g(x)的图象在直线h(x)的上方．

首先分析g(x)xlnx的图象．

可知当x∈(0，e－1)时，g(x)单调递减；

当x∈(e－1，＋∞)时，g(x)单调递增，

且g(x)min