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传染病扩散模型全局稳定性的深度剖析与应用探究

一、引言

1.1研究背景与意义

传染病，作为由各类病原体引发且能在人与人、动物与动物或人与动物间相互传播的疾病，始终是威胁全球公共卫生安全的关键因素。在人类发展历程中，传染病的爆发频繁出现，给人类社会带来了沉重灾难。从14世纪肆虐欧洲的黑死病，夺走约2500万人的生命，致使欧洲人口锐减三分之一；到20世纪初的西班牙流感，全球约10亿人感染，数千万人丧生。这些惨痛的历史事件，深刻地反映出传染病对人类生命健康的巨大威胁。

随着全球化进程的加速，人口流动愈发频繁，国际交往日益密切，传染病在全球范围内的传播风险和速度都显著增加。近年来，诸如SARS、禽流感、甲型H1N1流感、新冠肺炎等重大传染病事件接连爆发，不仅对全球公共卫生安全构成严峻挑战，还对世界各国的社会经济发展产生了深远影响。以新冠肺炎疫情为例，疫情在全球范围内的迅速蔓延，导致各国纷纷采取严格的防控措施，如封锁城市、限制人员流动、关闭公共场所等。这些措施虽然在一定程度上有效遏制了疫情的传播，但也给全球经济带来了沉重打击。众多行业遭受重创，旅游、餐饮、娱乐、交通运输等行业收入大幅下降，大量企业停工停产，供应链中断，失业率急剧上升，全球经济陷入严重衰退。据国际货币基金组织（IMF）统计，2020年全球经济增长率为-3.1%，是自20世纪30年代大萧条以来最严重的经济衰退。

传染病的传播具有复杂性和不确定性，其传播过程受到多种因素的综合影响，包括病原体的特性、传播途径、人群的易感性、人口密度、环境因素以及社会行为等。因此，深入研究传染病的传播规律和控制方法，对于有效预防和控制传染病的爆发与传播，保障全球公共卫生安全，促进社会经济的稳定发展，具有至关重要的现实意义和理论价值。

数学建模作为一种强大的工具，能够通过建立数学模型来定量描述传染病的传播过程，分析各种因素对传染病传播的影响，从而为传染病的防控策略制定提供科学依据和理论支持。在众多的传染病数学模型中，传染病扩散模型是一类重要的模型，它考虑了传染病在空间上的扩散因素，能够更真实地反映传染病的传播情况。而研究传染病扩散模型的全局稳定性，对于深入理解传染病的传播机制和发展趋势具有核心意义。

全局稳定性是指当系统受到外界干扰后，是否能够最终回到平衡状态的性质。对于传染病扩散模型而言，全局稳定性研究可以帮助我们确定在何种条件下，传染病能够得到有效控制，最终消失；或者在何种条件下，传染病会持续传播，形成地方病。通过对传染病扩散模型全局稳定性的分析，我们可以明确影响传染病传播的关键因素，评估不同防控措施的效果，进而为制定科学、有效的传染病防控策略提供坚实的理论基础。例如，如果能够证明在某种参数条件下，模型的无病平衡点是全局稳定的，那么就意味着在这种条件下，通过采取相应的防控措施，如隔离传染源、切断传播途径、保护易感人群等，可以有效地控制传染病的传播，使其最终消失。反之，如果模型的地方病平衡点是全局稳定的，那么就需要采取更加积极主动的防控策略，以降低传染病的传播风险和影响范围。

此外，研究传染病扩散模型的全局稳定性还有助于我们预测传染病的发展趋势，提前做好应对准备。通过对模型的分析和数值模拟，我们可以了解传染病在不同传播阶段的特征和规律，预测传染病的传播速度、传播范围以及可能造成的影响，为政府部门和公共卫生机构制定合理的防控计划和资源配置方案提供重要参考。同时，这也有助于提高公众对传染病的认识和防范意识，促进全社会共同参与传染病的防控工作。

1.2国内外研究现状

传染病扩散模型全局稳定性的研究一直是国内外学者关注的重点领域，众多学者运用数学分析、数值模拟等方法，在不同传染病模型和场景下开展了深入研究，取得了丰硕成果。

国外方面，早期Kermack和McKendrick于1927年提出的经典SIR模型，为传染病动力学研究奠定了基础，他们通过分析模型的阈值条件，揭示了传染病传播与否的关键因素，即基本再生数R_0。当R_0\gt1时，传染病会在人群中扩散；当R_0\lt1时，传染病将逐渐消失。这一开创性的工作为后续研究提供了重要的理论框架。此后，许多学者在此基础上进行拓展和深化。如Anderson和May将人口动力学与传染病传播相结合，研究了传染病在不同人口结构下的传播特征和稳定性。他们考虑了出生率、死亡率等因素对传染病传播的影响，使模型更贴近实际情况。在空间扩散方面，一些学者采用反应-扩散方程来描述传染病在地理空间上的传播。例如，Murray的研究表明，传染病的传播速度和范围受到人口密度、接触率以及扩散系数等因素的综合影响。通过数值模拟，他展示了传染病如何在空间中扩散，并分析了不同参数对传播过程的影响。

在国内，传染病扩散模型全