0马尔科夫链与状态转换-.docxVIP

马尔科夫链

【题型一】求第n次发生的概率

变式1如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记1分，落入袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为.并求出的通项公式.

【例3】“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：

①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；

②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.

方法二：由于平局的情况比较多，我们可以考虑n人玩游戏分出胜负的概率，

其中表示分出胜负的三种情况，即n人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负，

【例4】“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓.并求数列的通项公式；

??

A． B． C． D．

【题型二】求第次实验的期望

甲

乙

黑

白

此时，第次可能出现甲白乙白（黑球个数不变），甲白乙黑（黑球个数），甲黑乙黑（黑球个数不变），甲黑乙白（黑球个数）四种情况；根据全概率公式可得：

（1）求；

（2）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求.

【题型三】实验次数无限

特点：结果发生有很多原因导致，原因之间可以互相转换.可以回退到前一个状态或者说可以跳转到相邻状态，此时要分析某种情况下的之后的所有的不同选择，并最终导致结果发生。

【例7】“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为．

??

【答案】

故答案为：.

（1）若再打两个球，这两个球甲得分为，求的分布列和数学期望；

（2）假设一旦两人比分相等，以投掷硬币的方式选择发球权，求一局比赛甲获胜的概率；

所以的分布列为

0

1

2

方法一：设甲净胜分时，最终甲获胜概率；设甲净胜分时，最终甲获胜概率；

方法二：设第一局比赛甲获胜为事件，

变式6小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为.

【求期望】

【例9】投掷一枚质地均匀的硬币，若出现连续三次正面朝上的情况，则停止投掷，那么投掷总次数的数学期望为

【答案】14

【详解】设投掷总次数为X，结果出现“正面朝上”记为成功，出现“反面朝上”记为失败.

先进行第一次投掷，若第一次失败，因为试验失败对出现连续三次成功毫无帮助，可视作后续期望仍为

E(X)，即投掷总次数为E(X)+1；若第一次成功，则进行第二次投掷，当第二次试验失败时，后续期

望仍为E(X)，即投掷总次数为E(X)+2;在第一次、第二次都成功的前提下进行第三次试验，若成功则结束，此时试验次数为3，若失败则三次均无效，后续期望仍为E(X).

【题型四】求事件的个数的递推公式

所以的分布列为

1

2

3

另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有

A． B． C． D．

【例11】拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上．假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，

第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法；

第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类：

第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有种；

第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有种．

课后练习

①证明：是等差数列；

②求顾客获得一等奖的概率．

甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率______（用含n的式子表示）．

有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋