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第七章立体几何初步

目录

TOC\o12\h\u知识梳理 1

考点精讲精练 8

考点一：基本立体图形 8

考点二：立体图形直观图 11

考点三：简单几何体的表面积和体积 13

考点四：空间点、直线、平面的位置关系 16

考点五：空间直线、平面的平行 22

考点六：空间直线、平面的垂直 28

立体几何初步实战训练 37

1、空间几何体的结构特征

（1）棱柱的定义

定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱

底面(底)：两个互相平行的面

侧面：其余各面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与底面的公共顶点

（2）棱锥的定义

定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥

底面：多边形面

侧面：有公共顶点的各三角形面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：各侧面的公共顶点

（3）棱台的定义

定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台

上底面：原棱锥的截面

下底面：原棱锥的底面

侧面：除上下底面以外的面

侧棱：相邻侧面的公共边

顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点

（4）圆柱的定义

以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

圆柱的轴：旋转轴

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边

（5）圆锥的定义

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体

轴：旋转轴叫做圆锥的轴

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

锥体：棱锥和圆锥统称为锥体

（6）圆台的定义

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台

轴：圆锥的轴

底面：圆锥的底面和截面

侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分

母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分

台体：棱台和圆台统称为台体

（7）球

球的表面积和体积

2、直观图

（1）空间几何体的直观图的绘制方法

（2）画底面.已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；

（3）画侧棱.已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；

（4）成图.连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.

简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.

（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质

①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．

3、柱、锥、台、球的表面积和体积

几何体

表面积

体积

柱体（棱柱，圆柱）

椎体（棱锥，圆锥）

台体（棱台，圆台）

球

4、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

几何体

圆柱

圆锥

圆台

图示

侧面积公式

5、与平面有关的三个基本事实

（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面?

（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内?

（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线?

6、基本事实1的三个推论

推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;?

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;?

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.?

7、空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线

直线与平面

平面与平面

平行关系

图形语言

符号语言

相交关系

图形语言

图形语言

独有关系

图形语言

图形语言

与是异面直线

8、直线与平面平行

（1）直线与平面平行的定义

直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行.

（2）直线与平面平行的判定定理

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行

（3）直线与平面平行的性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

9、平面与平面平行

（1）平面与平面平行的定义

两个平面没有公共点

（2）平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

（3）平面与平面平行的性质定理

性质定理

两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.

符号语言

性质

两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面

10、直线与平面垂直

（1）直线和平面垂直的定义

（2）直线和平面垂直的判定定理

如果一条直线与