人教版（2024）数学八年级上册课件 14.3第2课时角的平分线的判定.pptxVIP

14.3角的平分线第2课时角的平分线的判定

1.探究并证明角的平分线的判定定理.（重点）2.会用角的平分线的判定定理解决实际问题.（难点）3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.（难点）

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.?思考：如果交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E，∴PD=PE.

猜想证明:已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°，∴点P在∠AOB的平分线上.在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPE∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.

几何表示：如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上.?拓展在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的几何.?归纳角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.?注意使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.

角的平分线的性质定理与判定定理的关系：点在角的平分线上(角的内部)点到角的两边的距离相等性质定理判定定理性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.

例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：（1）点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.（2）△ABC的三条角平分线交于一点.分析：(1)由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等;(2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上.MBCPNA

BCPMNEFD证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为点D，E，F.┐┐┐A∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.(2)由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等，∴点P在∠A的平分线上.∴△ABC的三条角平分线交于一点.

?归纳三角形三个内角的平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等.反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点.ABCP

75°1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=60°,点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E,若DE=DC,则∠ADE的度数为______.

2.如图，BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BE=CF,BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.?

A1.如图，P是△ABC(AB≠AC≠BC)内一点，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为D,E,F,且PD=PE=PF,则点P是△ABC的()A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条高所在直线的交点D.三条中线的交点

2.如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.两处C.三处D.四处D

3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF.求证：AD平分∠BAC.

判定定理角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上应用综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题